Waarom ziet men schaken als een sport en niet als een spelletje?

Omdat het aan prestatie is verbonden en een spelletje is dat niet.

Het is denksport, omdat je moet proberen je tegenstander te slim af te zijn, te verslaan, net als bij alle andere soorten van sport.

Omdat het hersengymnastiek is en geen spelletje.
Niet iedereen kan het. Je moet er behoorlijk op oefenen.

Die vraag is al eens gesteld:
http://www.goeievraag.nl/vraag/dammen-schaken-sporten.36836

Verder kan ik je dit nog als antwoord meegeven:
Een sport heeft een vastgelegde regelset die bij alle spelers bekend horen te zijn. Deze kunnen over de tijd en de plaats variëren. Toernooien kunnen hun eigen aanvullende regels stellen, maar er is een vaste basisset van overeengekomen en geaccepteerde regels.
Een sport heeft een competitieaspect. Dit kan zijn in een directe confrontatie met andere spelers, of in de zin van het vestigen van een score.
Een sport bestaat uit een fysieke of mentale activiteit, uitgevoerd individueel of in teamverband, met of zonder tegenspelers om van te winnen (bijv. voetbal), of om een doel te bereiken (bijv. bergbeklimmen), of om gezondheidsredenen (bijv. zwemmen).
Het primaire doel van een competitie is om volgens de regels te winnen, en niet om esthetische, artistieke of financiële redenen.

Schaken voldoet aan alle kenmerken en is dus een sport volgens bovenstaande definitie.

Omdat je door training je prestaties kan verbeteren. Het kost flink inspanning, om goed te worden. Vandaar dat het als sport wordt gezien, als je er serieus mee bezig bent. Er zijn daarnaast ook genoeg mensen, die schaken op spelniveau. Lekker even bezig zijn en het verder wel zien, hoe het spel gaat verlopen.

omdat je je hersenen daarmee traint net zoals een sprot