Hoe onderzoek je verloop van een functie?

Ik moet het verloop (definitiegebied, waardeverzameling, stijgen, dalen, extrema, buigpunten, nulpunten, asymptoten, eventuele buigraaklijnen, periodiciteit, symmetrieën) van verschillende functies bepalen:
f(x)= x²-4x+5
f(x)=vierkantswortel(x+2)
f(x)= -3x²+2x-5/3x²-2x-1

Ik verwacht niet dat je dit allemaal voorkouwt vanzelfsprekend, maar het zou toch een grote hulp zijn moest er eventueel bij elke stap wat uitleg gegeven worden. Alvast bedankt bij voorbaad.

Weet jij het antwoord?

/2500

Het definitiegebied is de verzameling waarden die x kan aannamen. In veel gevallen is dat R (reële getallen) maar bijv. bij de vierkantswortel (x+2) is dat het interval [-2;->). De waardenverzameling is de verzameling van waarden die de functie kan aannemen. Om die te bepalen moet je eerst weten waar de extremen liggen. De extremen zijn de minima en maxima. Die vind je door te differentiëren en de afgeleide 0 te stellen. Tussen twee opeenvolgende extremen zal de functie of alleen stijgen, of alleen dalen. Zo kun je van ieder interval zeggen of hij stijgt of daalt. Buigpunten vind je door de tweede afgeleide 0 te stellen. Nulpunten uiteraard door de functie zelf 0 te stellen. Asymptoten is wat lastiger, want die kunnen horizontaal, verticaal of schuin zijn. Kijk voor horizontale asymptoten of de functie nadert tot een constante waarde, voor verticale of er een x-waarde is waarvoor de functie naar oneindig gaat als x die waarde nadert, en voor schuine of de functie nadert tot een bepaalde lineaire functie. Buigraaklijnen kun je vinden door eerst buigpunten te vinden met de tweede afgeleide, en dan de eerste afgeleide in dat punt te berekenen. Voor periodiciteit moet je denken aan sinus- of cosinusfuncties. Als die erin voorkomen grote kans dat de functie periodiek is. (Lijn)Symmetrieën zul je vaak vinden als er alleen maar termen van x met even exponent in de functie voorkomen. Het komt mij voor dat een opgave om van bepaalde functies al deze eigenschappen te bepalen de sublimatie is van een geheel leerjaar VWO of HAVO. Als je die school volgt moet het je zijn opgevallen dat al deze begrippen de afgelopen maanden behandeld zijn. En als je die school niet volgt vraag ik me af wie je zo'n opdracht geeft.

Stel zelf een vraag

Ben je op zoek naar het antwoord die ene vraag die je misschien al tijden achtervolgt?

/100