Back to frontpage
Hét vraag- en antwoordplatform van Nederland

Hoe past een kubus in een octaëder en andersom?

Dus als je een kubus in een octaëder (ook wel "regelmatig achtvlak" of "diamant" genoemd) doet met de punten van de kubus precies in het midden van de vlakken van de octaëder, wat is dan de verhouding tussen de lengtes van de verschillende ribben? En als je de octaëder in een kubus doet? Kan dat?

Verwijderde gebruiker
10 jaar geleden
in: Wiskunde
2.2K

Heb je meer informatie nodig om de vraag te beantwoorden? Reageer dan hier.

Antwoorden (4)

Een kubus past niet in een octaëder.
Een octaëder bestaat uit twee piramides met een gezamenlijk grondvlak.
Een kubus past niet in twee met elkaar verbonden piramides.

Maar een octaëder past wel in een kubus. Zie bron.
(Lees meer...)
Bronnen:
Edraket
10 jaar geleden
Verwijderde gebruiker
10 jaar geleden
Wow, die vat ik even niet. In mijn visie past elk ruimtelijk (3d) object in elk ander 3d-object. Kwestie van schalen. Je plaatje bewijst niet je volledige antwoord. Alleen wat wel kan, niet wat niet kan. Bedoel je passen hier dat de snijpunten van alle hoeken van de kubus, alle vlakken van de octa exact moeten raken? Of wordt dat altijd bedoelt met Wiskunde als je passen zegt? http://math.ucr.edu/home/baez/mathematical/cube_in_octahedron.gif
Edraket
10 jaar geleden
Mij lijkt van wel. Anders is deze vraag geen echte vraag.
Een kubus die klein is zal uiteraard altijd een grote octaëder passen.
Verwijderde gebruiker
10 jaar geleden
In ieder geval passen ze op die beschreven manier ook allebei in elkaar.
Andersom kan ook.

Toegevoegd na 1 uur:
Berekening ben ik niet zeker van maar voor de kubus in octa kwam ik op.

zijde kubus 1, zijde octa 2 √2. (poging tot oplossen onder wim's antwoord)
(Lees meer...)
Verwijderde gebruiker
10 jaar geleden
Reddie
10 jaar geleden
Volgens mij een perfekt antwoord op de vraag. Plus.
Verwijderde gebruiker
10 jaar geleden
Sorry maar helaas.
De fout in de aanname onder het antwoord van Wim is dat de schuine zijde in dat verhaal op de helft gesneden wordt. Het hoekpunt van de kubus zit in het zwaartepunt van de driehoek en wordt dus op 1/3 gesneden.
Het juiste antwoord voor deze configuratie luidt 3/2*sqrt(2). Zie beneden.
Verwijderde gebruiker
10 jaar geleden
Tsjonge wat stom. Ik gokte wel dat het snijpunt op het zwaartepunt lag, maar ben er zomaar vanuit gegaan dat dat de helft van de hoogte van de driehoek was.
Het is mogelijk om een octaeder in een kubus te passen, waarbij de hoekpunten van de octaeder de middelpunten van de vlakken van de kubus raken. Een link naar een plaatje is al door Edraket gegeven. In dit plaatje kun je eenvoudig zien dat de lengte van de ribbe van de octaeder ½√2 maal de ribbe van de kubus is.
Omgekeerd is het ook mogelijk een kubus in een octaeder te passen, met de acht hoekpunten rakend aan de acht middelpunten van de zijvlakken van de octaeder. Hoe dan de verhouding tussen de ribben is moet ik nog even uitrekenen. En zoeken naar een plaatje.

Toegevoegd na 50 seconden:
Aha, Tomaat heeft het plaatje al. Nu de verhouding nog…
(Lees meer...)
WimNobel
10 jaar geleden
Verwijderde gebruiker
10 jaar geleden
Zou je deze vraag van mij kunnen beantwoorden (was een reactie op Edjeraketje). Bedoel je passen hier dat de snijpunten van alle hoeken van de kubus, alle vlakken van de octa exact moeten raken? Of wordt dat altijd bedoelt met Wiskunde als je passen zegt?
Verwijderde gebruiker
10 jaar geleden
Als ik wat rommel kom ik op 1 als zijde van de kubus en 2√2 van de zijde van de driehoek. Dit is dus met de aanname dat het 60-60-60 driehoek is en het snijpunt kubus exact in het midden van de driehoek(en) uitkomt. Ik ben daar vrij zeker van door dat alles dezelfde verhouding ten opzichte van elkaar heeft (goed bewijs :D) Wat ik deed is de hele figuur zo bekijken dat een staander van de kubus naar mij toe is gericht. Zodat de lengte van de bovenkant van de kubus √2 wordt en de staander 1. De schuine zijdes die je er dan omheen tekent moeten steeds op halve lengte gesneden worden voor de balk. Je hebt dan een driehoek 2, √2 met als schuinezijde √6, als ik die in een 30-60-90 calculator gooi krijg ik 2√2 als hypotenuse welke dan dus zijde octa is. Is het wat?
Verwijderde gebruiker
10 jaar geleden
op halve lengte gesneden worden voor de balk. (dat dus vanwege de aannames). Als mijn aanname niet klopt is de berekening natuurlijk slootwater.
Verwijderde gebruiker
10 jaar geleden
Je hebt het over het snijpunt van de hoogtelijn van een driehoekig vlak van de octaeder met een ribbe van de kubus. De ribbe wordt halverwege gesneden, maar de hoogtelijn niet. Die wordt op 1/3 van de basis gesneden in het zwaartepunt van de driehoek.
Verwijderde gebruiker
10 jaar geleden
Sorry WimNobel; ik had op het duimpje-omlaag geklikt omdat het antwoord in de commentaren onjuist was. Maar het antwoord van WimNobel zelf over de octaeder in de kubus is natuurlijk helemaal goed. En nu krijg ik dat duimpje niet meer weg...
Excuses!
WimNobel
10 jaar geleden
Tomaat: het woord "past" staat in de vraag en de vraagsteller geeft precies aan wat hij daarmee bedoelt. De hoekpunten van het ene lichaam moeten samenvallen met de middens van de zijvlakken van het andere lichaam. Dat is ook de gebruikelijke manier waarop dat met regelmatige veelvlakken gedaan wordt maar een strenge definitie is er niet.
Landsgevaer: jammer van het duimpje maar dank voor de uitwerking van de andere verhouding. Ik moest gisteren naar het werk en kon het zogauw niet bedenken.
Als de kubus zijden (ribben) heeft van lengte 1, dan liggen de hoekpunten op coordinaten
(±1/2, ±1/2, ±1/2)
Laat ik me even beperken tot dat op (1/2,1/2,1/2): Dat ligt op het vlak van de omgeschreven octaeder met vergelijking x+y+z=3/2. Derhalve ligt een hoekpunt van de octaeder op
(0,0,3/2)
en liggen alle zes de hoekpunten soortgelijk op (±3/2,0,0),(0,±3/2,0),(0,0,±3/2).
De afstand tussen twee hoekpunten die met elkaar verbonden zijn via een ribbe is dan 3/2*sqrt(2)=2,12132..

De octaeder ingeschreven in de kubus is makkelijker te zien. Diens hoekpunten liggen op (±1/2,0,0),(0,±1/2,0),(0,0,±1/2) en de ribbe heeft dus lengte 1/2*sqrt(2)=0,7071..

Overigens zijn dit geen van beide de meest efficiente pakkingen. Door de kubus en octaeder licht te draaien t.o.v. elkaar kun je de afmetingen van de lichamen dichter naar elkaar brengen.
(Lees meer...)
Verwijderde gebruiker
10 jaar geleden
Verwijderde gebruiker
10 jaar geleden
Het oppervlak van de ingeschreven octaeder kun je kortweg schrijven met de formule
|x|+|y|+|z|=3/2
en dat van de omgeschreven kubus als
max(|x|,|y|,|z|)=1/2
bedacht ik me later (waar |.| de modulus is en max de grootste van drie waarden geeft).
Nou ja, curiositeitje...

Weet jij het beter..?

Het is niet mogelijk om je eigen vraag te beantwoorden Je mag slechts 1 keer antwoord geven op een vraag Je hebt vandaag al antwoorden gegeven. Morgen mag je opnieuw maximaal antwoorden geven.

0 / 2500
Gekozen afbeelding
+