Hoe past een kubus in een octaëder en andersom?

Dus als je een kubus in een octaëder (ook wel "regelmatig achtvlak" of "diamant" genoemd) doet met de punten van de kubus precies in het midden van de vlakken van de octaëder, wat is dan de verhouding tussen de lengtes van de verschillende ribben? En als je de octaëder in een kubus doet? Kan dat?

Weet jij het antwoord?

/2500

Een kubus past niet in een octaëder. Een octaëder bestaat uit twee piramides met een gezamenlijk grondvlak. Een kubus past niet in twee met elkaar verbonden piramides. Maar een octaëder past wel in een kubus. Zie bron.

Bronnen:
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Dua...

Andersom kan ook. Toegevoegd na 1 uur: Berekening ben ik niet zeker van maar voor de kubus in octa kwam ik op. zijde kubus 1, zijde octa 2 √2. (poging tot oplossen onder wim's antwoord)

Het is mogelijk om een octaeder in een kubus te passen, waarbij de hoekpunten van de octaeder de middelpunten van de vlakken van de kubus raken. Een link naar een plaatje is al door Edraket gegeven. In dit plaatje kun je eenvoudig zien dat de lengte van de ribbe van de octaeder ½√2 maal de ribbe van de kubus is. Omgekeerd is het ook mogelijk een kubus in een octaeder te passen, met de acht hoekpunten rakend aan de acht middelpunten van de zijvlakken van de octaeder. Hoe dan de verhouding tussen de ribben is moet ik nog even uitrekenen. En zoeken naar een plaatje. Toegevoegd na 50 seconden: Aha, Tomaat heeft het plaatje al. Nu de verhouding nog…

Als de kubus zijden (ribben) heeft van lengte 1, dan liggen de hoekpunten op coordinaten (±1/2, ±1/2, ±1/2) Laat ik me even beperken tot dat op (1/2,1/2,1/2): Dat ligt op het vlak van de omgeschreven octaeder met vergelijking x+y+z=3/2. Derhalve ligt een hoekpunt van de octaeder op (0,0,3/2) en liggen alle zes de hoekpunten soortgelijk op (±3/2,0,0),(0,±3/2,0),(0,0,±3/2). De afstand tussen twee hoekpunten die met elkaar verbonden zijn via een ribbe is dan 3/2*sqrt(2)=2,12132.. De octaeder ingeschreven in de kubus is makkelijker te zien. Diens hoekpunten liggen op (±1/2,0,0),(0,±1/2,0),(0,0,±1/2) en de ribbe heeft dus lengte 1/2*sqrt(2)=0,7071.. Overigens zijn dit geen van beide de meest efficiente pakkingen. Door de kubus en octaeder licht te draaien t.o.v. elkaar kun je de afmetingen van de lichamen dichter naar elkaar brengen.

Stel zelf een vraag

Ben je op zoek naar het antwoord op die ene vraag die je misschien al tijden achtervolgt?

/100