Hoe heet de verzameling getallen die ontstaat door optellen/aftrekken, vermenigvuldigen/delen, en worteltrekken toe te passen op gehele getallen?

Optellen/aftrekken en vermenigvuldigen/delen alleen levert de rationale getallen, die een deelverzameling vormen van de bedoelde set (want bevat geen wortels). Alle oplossingen van polynomen met gehele coefficienten leveren de algebraische getallen, die een superset vormen (want bevat ook oplossingen van vijfde-graads vergelijkingen). Heeft de bedoelde getalverzameling ook een naam? Of, wat als je n-de machts wortels toestaat?

Toegevoegd na 1 minuut:
Geneste operaties mogen ook, dus sqrt(1+sqrt(2)) behoort ook tot de bedoelde verzameling.

Weet jij het antwoord?

/2500

Dat zijn de complexe getallen (C). In de reële getallen (R) mag je ook worteltrekken, maar niet van negatieve getallen. Je hebt in je vraag niet gespecialiseerd op worteltrekken van positieve getallen, dus in jouw ruimte kun je ook een negatief getal in de wortel stoppen. Dit wordt dus C. Ook sqrt(1+sqrt(2)) is een element van C, want 1+sqrt(2) zit in C, dus daar weer de wortel van ook. Maar ook sqrt(3+4i) zit in C. Want er geldt: sqrt(3+4i)=a+bi 3+4i = (a+bi)^2 3+4i = a^2+2abi-b^2 => 3 = a^2 -b^2 4 = 2ab => b=2/a Vul de 2e vergelijking in in de 1e gevonden vergelijking: 3 = a^2 - 4/(a^2) 3a^2 = a^4 - 4 a^4 - 3a^2 - 4 = 0 (a^2-4)(a^2+1)=0 a is een reëel getal, dus a^2>0. Dus a^2=4 => a=2 of a=-2. Dus geldt: (a=2 en b=1) of (a=-2 en d=-1) Dit kan ook met n de machts wortels, alleen is 't rekenwerk dan niet meer zo leuk... Dus de ruimte is C, want daar blijven alle elementen uit C bij elke bewerking in C.

Bronnen:
http://www.wisfaq.nl/showfaq3.asp?Id=10369

De getallen die je noemt behoren tot de Reële getallen. Voeg je daar de Imaginaire getallen bij, dan krijg je de Complexe getallen.

Stel zelf een vraag

Ben je op zoek naar het antwoord op die ene vraag die je misschien al tijden achtervolgt?

/100