Hoe heet de verzameling getallen die ontstaat door optellen/aftrekken, vermenigvuldigen/delen, en worteltrekken toe te passen op gehele getallen?

Hmm, niet aan de imaginaire component gedacht moet ik toegeven, maar het is niet de hele verzameling der complexe getallen C die ik bedoel. Want daarin zitten ook bijvoorbeeld pi, of de oplossing van 5e-graadsvergelijkingen, en die zijn niet te construeren met +,-,*,/, en sqrt alleen.
Het dichtst bij komt een veld als Q(sqrt(2)) dat alle getallen bevat van de vorm a/b+c/d*sqrt(2) (met a,b,c,d geheel), waarvan ik overigens ook niet weet hoe je het noemt. Maar dan zouden wortels van alle gehele getallen moeten mogen, en ook geneste wortels.

Het moeilijke zit hem erin dat je alleen de vierkantswortel toestaat en niet machtsverheffen in het algemeen. Dus in principe sta je alleen alle (2n)de machts wortels toe met n in de natuurlijke getallen. Dus dat wordt gatenkaas in de verzameling.
Ik denk dat er niet een speciale naam voor is voor deze verzameling, vooral ook omdat kwadrateren en worteltrekken meestal samen wordt toegevoegd als operaties die moeten kunnen en dat hier niet het geval is.

Okee, zou misschien kunnen (hoewel sqrt(x+sqrt(y)) niet per se zelf een 4e-machtwortel hoeft te zijn geloof ik, en kwadrateren en worteltrekken kunnen wel beide, en Q is zelf ook een gatenkaas, maar goed).
Laat ik dan generaliseren tot willekeurige rationale exponenten als je dat nodig hebt (d.w.z. gebaseerd op de inverse van "een geheel aantal keren met zichzelf vermenigvuldigen"). Dus (a/b)^(c/d) mag dan, voor gehele a,b,c,d, zonodig genest, maar niet élke (transcendente) macht.

Klopt Q is ook gatenkaas. Het is ook geen beperking een naam geven aan een verzameling of het gatenkaas is of niet. Ik denk dat er niet een speciale naam is voor de verzameling die je bedoelt.

"Het dichtst bij komt een veld als Q(sqrt(2)) dat alle getallen bevat van de vorm a/b+c/d*sqrt(2) (met a,b,c,d geheel), waarvan ik overigens ook niet weet hoe je het noemt. " "Algebraisch getallenlichaam". (engels: algebraic field extension). Specifieker ook wel over 'quadratic field' als het over een vierkantswortel gaat. " Maar dan zouden wortels van alle gehele getallen moeten mogen, en ook geneste wortels." En dan wordt het kiezen tussen twee kwaden, Beschouw bv. het element 'x= sqrt(2)+sqrt(3)'. Die kan immers niet als 'standaardelement' geschreven worden, terwijl sqrt(2) en sqrt (3) beide elementen zijn en + ook op je verzameling gedefinieerd is. Wat doe je daarmee ? 1. Niet toelaten tot je verzameling. Dan heb je dus niet langer een verzameling die gesloten is onder je standaardbewerkingen, zodat het geen groep, ring, of lichaam kan zijn. Hoogstwaarschijnlijk maakt dit het veel moeilijker om deze verzameling wiskundig te analyseren. (Niet onmogelijk per se: N is ook niet gesloten onder bv. aftrekken ) 2. Wél toelaten. Dan is het dus niet langer mogelijk om al je elementen in een 'kanonieke vorm' uit te drukken (immers dan moet je ook y = 'som van de wortels van de eerste miljard priemgetallen' toelaten', terwijl dit hoogstws. niet in MINDER dan een miljard termen uitgedrukt kan worden. )(vergelijk dit met Q waarin ieder willekeurig element als enkelvoudige breuk a/b uitgedrukt kan worden, of Q(sqrt2) waar dat met a/b + c/d *sqrt(2) kan.

ok, mijn eerste argument klopt niet helemaal, ik bedacht me net dat sqrt(a) + sqrt(b) =sqrt (a+b+2 * sqrt(ab)), (a,b integer) zodat sommen van TWEE wortels inderdaad wèl in de vorm sqrt(x + sqrt(y)) (x, y integer) geschreven kan worden. Toch lijkt me dat daarmee het probleem niet helemaal is opgelost, immers sqrt(a) + sqrt(b) + sqrt(c) =sqrt ( a+b+c+ 2* ( sqrt(ab) + sqrt(bc) +sqrt(ac) ) (a.b.c integer) Wat waarschijnlijk toch weer niet simpeler geschreven kan worden, in ieder geval niet in de vorm sqrt(x + sqrt(y)) (x, y integer) en dus geen element van de verzameling is bij één niveau van nesting van wortels. Of sta je willekeurige niveau's van nesting toe ? (Dan zou het weer wèl kunnen, maar in dat geval gaat weer het probleem meespelen dat er wellicht geen simpele algemene vorm van alle elementen mogelijk is).

Geniaal van die wortels optellen! Dat wist ik helemaal niet :-)

Kwestie van kwadrateren, omschrijven en weer worteltrekken lijkt me, nu ik er zo naar kijk.
Wat is wiskunde toch leuk!

nee ik kende hem ook niet (of allang vergeten) , maar wilde de uitdrukking sqrt(a) + sqrt(b) om zien te schrijven in zo'n geneste wortelvorm en bedacht me dat ik dat wel eens met een merkwaardig product zou kunnen proberen, vandaar...

Ik wilde p/q*sqrt(a)+r/s*sqrt(b) wel toestaan. Overigens zitten al dat soort combinaties in het Algebraisch getallenlichaam Q(sqrt(a)+sqrt(b)), zo blijkt:
- Natuurlijk zit m=sqrt(a)+sqrt(b) er in.
- Ook zit n=(a-b)/(sqrt(a)+sqrt(b)) er in.
- De laaste vereenvoudigt tot n=sqrt(a)-sqrt(b).
- Dus zitten sqrt(a)=(m+n)/2 en sqrt(b)=(m-n)/2 er zelf ook in. Ik heb inmiddels deze video gevonden:
http://www.youtube.com/watch?v=CMP9a2J4Bqw
waarin de door mij genoemde verzameling de "construeerbare getallen" worden genoemd. Dat blijkt inderdaad de naam te zijn; zie ook http://en.wikipedia.org/wiki/Constructible_number (de NLse wiki noemt 'm niet).
In diezelfde video wordt overigens beweerd dat je, als je n-de machts wortels toestaat, de algebraische getallen krijgt. Dat lijkt me dan een foutje (gezien Ruffini (1799) en Abel (1826) hierboven). Ik denk dat ik m'n vraag dus maar als beantwoord beschouw. Merci!

Pi zit wel in de complexe getallen, maar is niet te maken met +, -, *, /, en sqrt. Dus de complexe getallen is het niet helemaal, want té uitgebreid.