Kan de huidige wiskunde alleen bestaan zoals hij nu is?

Als buitenaardse, intelligente wezens ook wiskunde ontwikkelen, kan het zijn dat ze deels andere richtingen onderzoeken dan wij, maar de basis zal hetzelfde zijn. Ook op Betelgeuze is de kortste verbinding tussen twee punten een rechte lijn, en ook daar geldt de Stelling van Pythagoras (al heet hij daar dan de Stelling van GTYBJIUFE.OIJ).

De wiskunde die we sinds Cantor en Gödel om er maar twee te noemen is al op essentiële details anders dan die van pakweg Pythagoras.

Er zijn nog wat onbewezen stellingen waar geniale wiskundigen zich over hebben gebogen, dus er zit nog een (kleine) verbetering in het vat.

We weten nog niet alles en gelukkig maar Houdt ons van de straat.

Onze wiskunde is gebaseerd op zogenoemde beginselen (de axioma's). Hierop is onze wiskunde gebaseerd. Alles zou hiermee moeten overeenstemmen. Doet het dit niet, dan werkt het niet meer.

Als een andere persoon met deze axioma's zou beginnen, moet onze wiskunde voor hem ook kloppen en vice versa.

Er is dus één conditie: we moeten dan wel dezelfde axioma's hanteren. Anders is er inderdaad een andere 'wiskunde' mogelijk.

De axioma's van de wiskunde zijn namelijk nooit bewezen. Het zijn de zogenaamde beginselaannames die de "spelregels" vormen.

Toegevoegd na 49 seconden:
Ik voeg graag nog even iets toe van Prof. Vaes:

De abstracte wiskunde kan, in principe, helemaal opgebouwd worden aan de hand van de verzamelingenleer en de bijhorende axioma's. Vooraleer hier verder op in te gaan, is het belangrijk op te merken dat de toevoeging "in principe" cruciaal is. In de praktijk houdt men zich niet bezig met het herleiden van de wiskunde tot een formeel spel van verzamelingen en axioma's. Een dergelijke herleiding zou, zelfs voor tamelijk eenvoudige wiskundige concepten en resultaten, een onbegonnen werk zijn.

Dat neemt niet weg dat die axioma's er wel zijn. Het algemeen aanvaarde axiomasysteem voor de verzamelingenleer luistert naar de naam "Zermelo-Fraenkel". De volledige lijst van axioma's kan je vinden op http://en.wikipedia.org/wiki/Zermelo-Fraenkel_set_theory
Het is niet zo makkelijk om die axioma's echt te begrijpen. Eerst moet je een symbolentaal invoeren. De axioma's zijn uitspraken in deze symbolentaal die als "waar" aanvaard worden. Vervolgens zijn er redeneerregels die toelaten nieuwe ware uitspraken af te leiden uit eerder afgeleide ware uitspraken (of axioma's).

Het meest controversiële axioma in deze lijst, is het "keuze-axioma". Dit zegt ongeveer het volgende: als je een collectie van niet-lege verzamelingen hebt, is het mogelijk om uit elke verzameling precies één element te kiezen. Ondanks een zekere intuïtieve evidentie, leidt het keuze-axioma tot bizarre gevolgen. Hierover kan je meer lezen op http://en.wikipedia.org/wiki/Axiom_of_choice
Deze vraag werd beantwoord door:
prof. Stefaan Vaes
Hoogleraar wiskunde

Toegevoegd na 1 minuut:
De axioma's van Euclides zijn geen axioma's voor de ganse wiskunde, hoogstens voor een deel van de meetkunde van het vlak.

zie: http://nl.wikipedia.org/wiki/Postulaten_van_Euclides

De wiskunde is een gedachtenconstructie door mensen ontwikkeld om problemen op te lossen.
Andere wetenschappen, bijv. Natuurkunde, maar ook menswetenschappen etc. komen problemen tegen waarvoor zij de wiskunde willen gebruiken. Die wetenschappen zijn in ontwikkeling en soms komen zij problemen tegen waarvoor de nodige wiskunde nog niet bestaat. Wiskundigen moeten dan iets "verzinnen". Denk maar aan architecten heel vroeg in onze geschiedenis, die de omtrek van een cirkel wilden weten bij een bepaalde diameter => het getal pi. Of men wilde de oppervlakte van onregelmatig gekromde lichamen weten => integraalrekening. Wat dacht je van x^2 + 1 = 0. Om die op te lossen "verzin" je i^2 = -1. En zo zijn er meer te noemen. Kort gezegd:
Bij voortschrijdend inzicht ontstaan nieuwe problemen die om een oplossing vragen waar wiskunde voor nodig, maar nog niet voorradig is. De wiskunde moet zich daarom blijven vernieuwen. De huidige wiskunde kan dus alleen bestaan bij de gratie van wat hij in de toekomst moet worden.

Je kunt ook een wiskunde ontwikkelen obv andere axioma's. Kijk bv eens naar de Nederlandse wiskundige L.E.J. Brouwer.

De huidige wiskunde en logica kent maar dingen: iets is waar of het is niet waar. Dat wordt gebruikt bij een bewijs uit het ongerijmde. Brouwer zetten daarentegen een wiskunde op die drie toestanden onderscheidde: waar, niet waar en 'onbekend'. Dat is een beetje gek. Het geeft heel andere resultaten.

Maar over tellen zullen we het met de Betelgeuzianen wel eens zijn 3+6=9.

Er is al eerder iets gezegd over axioma's. Dat is helemaal juist. Wiskunde bestaat uit definities. Zo zijn de getallen bijvoorbeeld ontstaan door:

We nemen een verzameling, met twee elementen (wij noemen deze 0 en 1, maar die zouden ook vierkantje en driehoekje kunnen heten).
Dan maken we afspraken:
0 is het kleinste element in de verzameling
1 is anders dan 0
We definiëren operaties + en x, waarbij 0 het neutrale element is onder optellen (het doet niets met een getal) en 1 het neutrale element voor vermenigvuldigen

Omdat 1 groter is dan 0, geldt: 1+1 is niet 1, en ook niet 0, dus wordt onze verzameling groter, wij noemen het volgende getal 2; maar dit had ook hartje kunnen heten. Zo zijn de natuurlijke getallen ontstaan (0, 1, 2, 3, ...)

Als andere mensen een ander getal systeem hanteren, een ander symbool voor optellen en aftrekken, maar dezelfde afspraken dan kunnen we elkaars wiskunde begrijpen ;-)

De uitbereidingen op deze getallen (negatief, breuken, reeel, imaginair) zijn ook puur ontstaan uit definities en beperkingen aan vorige getallen sets.