Waarom is een priem getal zo belangrijk?
Waar worden ze voor gebruikt?
2.3K
2.3K keer bekeken
Heb je meer informatie nodig om de vraag te beantwoorden? Reageer dan hier.
Het beste antwoord
ik heb deze tekst even uit de link van Som gehaald, maar ik wil jullie de informatie niet onthouden. het gaat over hoe priemgetallen gebruikt worden om informatie te versleutelen:
De truc van de priemgetallen wordt toegepast in de zogenaamde asymmetrische cryptografie. Hierbij is er niet één sleutel, maar zijn er twee. Een publieke sleutel en een geheime sleutel. De publieke sleutel kan door iedereen gebruikt worden om een bericht te coderen, maar alleen de ontvanger, die de publieke sleutel bekend heeft gemaakt, kan deze gecodeerde berichten ontcijferen. Het is als een hangslot. Iedereen kan het dichtklikken, maar alleen degene met de sleutel kan het weer openen.
Een uitleg met een voorbeeld maakt dit duidelijk. In dit voorbeeld worden kleine priemgetallen gebruikt, maar voor echte codering worden priemgetallen van honderden cijfers gebruikt.
Priemgetallen hebben een speciale eigenschap: Euclides bewees in zijn boek ‘De Elementen’ dat elk natuurlijk getal (1,2,3,4 …) op juist één manier kan ontbonden worden in priemfactoren. Met andere woorden, elk natuurlijk getal kan gemaakt worden door bepaalde priemgetallen te vermenigvuldigen. Dit kan maar op één manier. Zo bestaat 42 uit 2 × 3 × 7. Er is geen andere combinatie van priemgetallen denkbaar om 42 te vormen. En dit is precies het magische hangslot voor coderingen. Er is een wiskundige methode waarbij voor het coderen het natuurlijke getal (bijvoorbeeld 42) nodig is, maar voor het ontcijferen de unieke priemgetallen (2, 3 en 7) waaruit dit natuurlijke getal bestaat nodig zijn. Dus 42 klikt het slot dicht en 2,3 en 7 maken het open.
Het “dichtklikken” is vrij makkelijk. Neem twee priemgetallen, bijvoorbeeld 19 en 29. De publieke sleutel is nu 551, want 19 × 29 is 551. Iedereen kan nu met deze publieke sleutel een bericht coderen. Maar om dit bericht vervolgens te ontcijferen zijn 19 en 29 nodig. En die weet alleen de maker.
Dit is een goede beveiliging, want twee grote priemgetallen zijn vrij makkelijk te vermenigvuldigen, maar om een groot getal te ontbinden in priemgetallen is heel moeilijk. Daarvoor voldoen op dit moment de beste computers niet eens. De boodschap is dus volstrekt veilig zolang de twee priemgetallen maar groot genoeg gekozen worden.
(Lees meer...)
De truc van de priemgetallen wordt toegepast in de zogenaamde asymmetrische cryptografie. Hierbij is er niet één sleutel, maar zijn er twee. Een publieke sleutel en een geheime sleutel. De publieke sleutel kan door iedereen gebruikt worden om een bericht te coderen, maar alleen de ontvanger, die de publieke sleutel bekend heeft gemaakt, kan deze gecodeerde berichten ontcijferen. Het is als een hangslot. Iedereen kan het dichtklikken, maar alleen degene met de sleutel kan het weer openen.
Een uitleg met een voorbeeld maakt dit duidelijk. In dit voorbeeld worden kleine priemgetallen gebruikt, maar voor echte codering worden priemgetallen van honderden cijfers gebruikt.
Priemgetallen hebben een speciale eigenschap: Euclides bewees in zijn boek ‘De Elementen’ dat elk natuurlijk getal (1,2,3,4 …) op juist één manier kan ontbonden worden in priemfactoren. Met andere woorden, elk natuurlijk getal kan gemaakt worden door bepaalde priemgetallen te vermenigvuldigen. Dit kan maar op één manier. Zo bestaat 42 uit 2 × 3 × 7. Er is geen andere combinatie van priemgetallen denkbaar om 42 te vormen. En dit is precies het magische hangslot voor coderingen. Er is een wiskundige methode waarbij voor het coderen het natuurlijke getal (bijvoorbeeld 42) nodig is, maar voor het ontcijferen de unieke priemgetallen (2, 3 en 7) waaruit dit natuurlijke getal bestaat nodig zijn. Dus 42 klikt het slot dicht en 2,3 en 7 maken het open.
Het “dichtklikken” is vrij makkelijk. Neem twee priemgetallen, bijvoorbeeld 19 en 29. De publieke sleutel is nu 551, want 19 × 29 is 551. Iedereen kan nu met deze publieke sleutel een bericht coderen. Maar om dit bericht vervolgens te ontcijferen zijn 19 en 29 nodig. En die weet alleen de maker.
Dit is een goede beveiliging, want twee grote priemgetallen zijn vrij makkelijk te vermenigvuldigen, maar om een groot getal te ontbinden in priemgetallen is heel moeilijk. Daarvoor voldoen op dit moment de beste computers niet eens. De boodschap is dus volstrekt veilig zolang de twee priemgetallen maar groot genoeg gekozen worden.
Verwijderde gebruiker
14 jaar geleden
Verwijderde gebruiker
14 jaar geleden
Hoi Krullenkoppie, daarom is het des te frappant dat de tweeling in Sachs verhaal dus een getal kon ontleden in priemgetallen door deze letterlijk te zien. Zij konden dat al met getallen van 7 cijfers blijft uit zijn studie. Heel apart.
verder +1.
Verwijderde gebruiker
14 jaar geleden
ah ik had de +1 niet echt verdiend met het copypasten van een tekst die ik in jouw antwoord zag...
Idd heel bijzonder dat die tweeling communiceerde met priemgetallen en dat ze ze zo zagen. Maar ik was nog meer geinteresseerd in hoe een versleuteling van informatie met priemgetallen nu echt werkt, vandaar dus mijn antwoord!
Idd heel bijzonder dat die tweeling communiceerde met priemgetallen en dat ze ze zo zagen. Maar ik was nog meer geinteresseerd in hoe een versleuteling van informatie met priemgetallen nu echt werkt, vandaar dus mijn antwoord!
Verwijderde gebruiker
14 jaar geleden
Het leuke is dat alle antwoorden samen een mooi en evenwichtig beeld geven. Misschien weet iemand anders nog een mooie reden waarom priemgetallen belangrijk zijn.
Andere antwoorden (3)
Priemgetallen vormen een belangrijk onderwerp in de tak van de wiskunde die getaltheorie genoemd wordt. Een van de redenen hiervan is dat priemgetallen met zeer veel cijfers worden toegepast bij het beveiligen van digitale informatie, door middel van cryptografie.
Meer hierover op wiki. Met name getaltheorie.
(Lees meer...)
Meer hierover op wiki. Met name getaltheorie.
Verwijderde gebruiker
14 jaar geleden
Buitenaardse beschavingen zouden ons signalen van priemgetallen kunnen sturen, als bewijs dat we met intelligent leven te maken hebben. Wiskunde is universeel.
(Zie film 'Contact' met Jodie Foster)
(Lees meer...)
(Zie film 'Contact' met Jodie Foster)
Verwijderde gebruiker
14 jaar geleden
Een priemgetal is een geheel getal dat groter is dan 1 en alleen door 1 of door zichzelf deelbaar is.
4 is geen priemgetal omdat het deelbaar is door 1, 2 en 4.
5 is een priemgetal omdat het alleen door 1 en 5 te delen een geheel getal oplevert.
Het bijzondere aan priemgetallen dat wiskundigen er geen orde in hebben kunnen aanbrengen. Dat betekent dat zij niet via een formule kunnen voorspellen wat het volgende priemgetal is. Er zijn wel tests bedacht om achteraf van een getal te kunnen berekenen of het een priemgetal is, maar men kan niet zomaar alle priemgetallen berekenenen die er zijn. Daarom wordt eens in de zoveel jaar weer een nieuw (hoog) priemgetal ontdekt.
Voor de beveiliging die gebruik makat van versleuteling (encryptie of geheimschrift) kunnen priemgetallen worden gebruikt omdat het lang duurt om ze te kraken. In de bron staat een interessant artikel van kennislink.
Toegevoegd na 9 minuten:
Oliver Sachs,een beroemde neurobioloog beschrijft de volgende situatie in zijn boek "De man die zijn vrouw voor hoed hield".
Een autistische tweeling, die niet kan rekenen, schrijven of lezen geeft elkaar getallen door. Ze vinden het zelf hoogst vermakelijk en bij nader inzien blijken het allemaal priemgetallen te zijn van 6 cijfers. Deze zijn al heel moeilijk te berekenen. Als Sachs een niet priemgetal doorgeeft van 7 cijfers negeren ze Sachs, maar als hij een nieuw priemgetal doorgeeft van 7 getallen kijken ze hem verbaasd aan en gaan verder met het geven van nieuwe priemgetallen van 7 (!) cijfers.
Nu blijkt uit onderzoek dat de tweeling deze getallen "ziet" als op de grond een doosje lucifers valt en de tweeling (beide) in een keer ziet dat er 111 lucifers liggen, drie keer het priemgetal 37. Deze situatie komt ook voor in de film Rain Main. Andere films die gebaseerd zijn op de waar gebeurde verhalen van Sachs zijn o.a. Awakenings.
Een samenvatting van dit uiterst interesante boek is hier te vinden:
http://fredtak.punt.nl/index.php?r=1&id=359140&tbl_archief=0
Het verhaal gaf mij een heel andere kijk op priemgetallen en sowieso geven de boeken van Sachs een heel andere kijk op het menselijk brein.
(Lees meer...)
4 is geen priemgetal omdat het deelbaar is door 1, 2 en 4.
5 is een priemgetal omdat het alleen door 1 en 5 te delen een geheel getal oplevert.
Het bijzondere aan priemgetallen dat wiskundigen er geen orde in hebben kunnen aanbrengen. Dat betekent dat zij niet via een formule kunnen voorspellen wat het volgende priemgetal is. Er zijn wel tests bedacht om achteraf van een getal te kunnen berekenen of het een priemgetal is, maar men kan niet zomaar alle priemgetallen berekenenen die er zijn. Daarom wordt eens in de zoveel jaar weer een nieuw (hoog) priemgetal ontdekt.
Voor de beveiliging die gebruik makat van versleuteling (encryptie of geheimschrift) kunnen priemgetallen worden gebruikt omdat het lang duurt om ze te kraken. In de bron staat een interessant artikel van kennislink.
Toegevoegd na 9 minuten:
Oliver Sachs,een beroemde neurobioloog beschrijft de volgende situatie in zijn boek "De man die zijn vrouw voor hoed hield".
Een autistische tweeling, die niet kan rekenen, schrijven of lezen geeft elkaar getallen door. Ze vinden het zelf hoogst vermakelijk en bij nader inzien blijken het allemaal priemgetallen te zijn van 6 cijfers. Deze zijn al heel moeilijk te berekenen. Als Sachs een niet priemgetal doorgeeft van 7 cijfers negeren ze Sachs, maar als hij een nieuw priemgetal doorgeeft van 7 getallen kijken ze hem verbaasd aan en gaan verder met het geven van nieuwe priemgetallen van 7 (!) cijfers.
Nu blijkt uit onderzoek dat de tweeling deze getallen "ziet" als op de grond een doosje lucifers valt en de tweeling (beide) in een keer ziet dat er 111 lucifers liggen, drie keer het priemgetal 37. Deze situatie komt ook voor in de film Rain Main. Andere films die gebaseerd zijn op de waar gebeurde verhalen van Sachs zijn o.a. Awakenings.
Een samenvatting van dit uiterst interesante boek is hier te vinden:
http://fredtak.punt.nl/index.php?r=1&id=359140&tbl_archief=0
Het verhaal gaf mij een heel andere kijk op priemgetallen en sowieso geven de boeken van Sachs een heel andere kijk op het menselijk brein.
Verwijderde gebruiker
14 jaar geleden
Verwijderde gebruiker
14 jaar geleden
niet echt een antwoord op de vraag, maar wel heel interessant!
Verwijderde gebruiker
14 jaar geleden
en interessante link ook, ik heb de info ervan even in een nieuw antwoord gezet!
Verwijderde gebruiker
14 jaar geleden
Hoi Krullenkoppie, mijn antwoord op de vraag is dat het gebruikt wordt als versleuteling met een link naar kennisnet waarin dat allemaal netjes wordt uitgelegd. Daarnaast verwijs ik in mijn antwoord naar een andere (en minder bekende) visuele waarde, bijvoorbeeld in het herkennen van aantallen zonder deze te tellen.
Verwijderde gebruiker
14 jaar geleden
jah tis zeker een interessant verhaal, maar naar mijn idee vertel je er niet mee waarom priemgetallen belangrijk zijn, maar vertel je een verhaal over mensen die bijzondere dingen kunnen met priemgetallen.. Maar nogmaals, dat maakt het niet minder intrigerend!