Hoe komt dat lucht regen omvormt tot sneeuw

Het is de temperatuur die dit beinvloedt, hoger betekent meestal wel kouder maar is niet de doorslaggevende factor dat blijft temperatuur.

Lucht vormt regen niet om tot sneeuw.
Het ligt anders:

Een wolk is niks meer of minder dan ijs.
Onder invloed van luchtdruk wind en temperatuur, komt de inhoud van de wolk neer in de vorm van sneeuw, hagel, regen of damp.

In een wolk worden ijskristallen gevormd. Als die uit de wolk komen en onderweg niet smelten, valt het als sneeuw op de grond. Smelt het onderweg wel, dan komt het als regen op de grond. Dus het hangt deels af van de temperaturen van de luchtlagen onder de wolken.

Hagel ontstaat in een wolk als onderkoelde druppeltjes vocht bevriezen, waarna ze in contact komen met warmere delen in de wolk en daar aanwezig vloeibare druppeltjes eigenlijk als ijzel vastvriezen aan het hagelsteentje dat aan het ontstaan is. Je kunt bij een redelijk hagelsteentje op de grond de verschillen ook zien: ondoorzichtige deeltjes waren altijd bevroren, de doorzichtige laagjes zijn aangevroren waterdeeltjes die eerst vloeibaar waren.
Zo'n hagelsteen wordt op een bepaald moment te zwaar voor de stijgende stroom die aanwezig is en valt dan naar beneden.

Ik heb weleens in juni in Nederland bij koud weer en lage bewolking meegemaakt dat er natte sneeuw viel...

De temeratuur wordt lager als je verder weg bent van het aardoppervlak.
Wolken bevatten vrijwel altijd sneeuw of hagel. Als het regent smelt de sneeuw of hagel onderweg naar benenden.
Soms bij een felle onweersbui gaat het zo hard en is de hagel zo groot dat deze onder weg niet helemaal smelt en dan kan het zelfs in de zomer hagel vallen.