is het mogelijk om een besturingssysteem op een oude pc te zetten zonder dat de pc aan is?

Ja dat kan !

Je kunt je harde schijf uit je PC halen en in en andere (liefst met dezelfde hardware) computer stoppen. Dan vandaar de installatie doen of indien je een goede image kan vinden dan die er op zetten en vervolgens de harde schijf weet terug plaatsen.

Of het handig is, dat is een andere verhaal !

Je schrijft dat je niet meer in kunt loggen. Dat kan op 2 niveaus gebeuren: een wachtwoord in je firmware kan je verhinderen in te loggen (zeldzaam)
Of in het OS staat het niet meer toe of is dusdanig gecrashed dat het niet meer in staat is je in te laten loggen.

In het eerste geval heeft een nieuw OS geen effect. Eerst zul je het wachtwoord van je firmware moeten resetten, pas dan kun je veder.

In het tweede geval kun je over het algemeen nog een OS installeren van CD of een USB. Linux biedt beide mogelijkheden. Soms moet je wel even de firmware van je PC in om de opstartvolgorde anders in te stellen zodat 'ie eerst vanaf je CD of USB op probeert te starten en pas daarna van de harde schijf. (google eens op het typenummer van je computer en de term 'boot sequence' als je meer wil weten)

Wanneer je PC van CD of USB is opgestart dan kun je gewoon gaan installeren. Het uitwisselen van onderdelen is dan niet nodig. (uiteraard zolang er geen hardware kapot is gegaan bij de crash)

Hoe het installeren van Linux precies in zijn werk gaat is eenvoudig te googelen, maar een goede start met b.v. Ubuntu Linux is hier al te vinden:
http://wiki.ubuntu-nl.org/InstallatieLiveUSB

Succes !

Als je al zover komt dat je op het inlog scherm komt dan kun je in elk geval opstarten
dus dan kan je waarschijnlijk ook booten vanaf bijvoorbeeld een linux cd een aangezien je verder niet geeft om wat er op staat kan je heel makkelijk linux installeren op de hele schijf.
tenzij je vermoed dat er hardware defect is ?

Via een andere computer kan je op zoek naar bijv ubuntu live cd of ander linux versie
deze op cd branden en die gebruiken op deze pc weer aan de praat te krijgen
let wel even op of die oude pc een cd of dvd speler heeft.
probeer eerst de live versie om het uit te proberen, deze versie maakt nog geen veranderingen aan op je harde schijf maar hier me kan je ook uitvissen of er iets van hardware defect is als het niet lukt om er mee op te starten dan zie je waarschijnlijk ook wel wat de fouten zijn.
lukt het wel, dan kunt je daarna de opnieuw opstarten en kiezen voor installeren op HD
je kan dus gerust de hele schijf formateren omdat je waarschijnlijk niet geeft om wat er verder nog op staat .
mocht er nog wel iets van waarde voor je op staan
in de live versie kan je de de inhoud van de harde schijf wel zien en kun je eventueel dingen op usb stick zetten voordat je linux echt op de HD zet