Als je formule voor inhoud van een bol afleidt, krijg je de formule voor de oppervlakte. Toeval of zit er een wiskundige betekenis achter?

Question

Zoals algemeen geweten inhoud van bol = 4/3*pi*R^3 en oppervlakte = 4*pi*R^2 (de afgeleide naar R dus). Mijn gevoel zegt dat hiervoor een wiskundige verklaring moet bestaan.
Ik weet niet of het er iets mee te maken heeft, maar blijkbaar is een bol de ruimtefiguur waarvoor de verhouding oppervlakte/inhoud het minimaalst is. Dit lijkt me ook niet evident om te bewijzen.

Toegevoegd na 1 dag:
Ik heb het antwoord ondertussen zelf gevonden. Dit volgt blijkbaar rechtstreeks uit de eigenschappen van oppervlak en volume voor de eenheidsbol en is geldig in alle dimensies.

http://nl.wikipedia.org/wiki/Eenheidsbol

 · Answer

Ik heb er even over nagedacht en het klinkt heel logisch, de afgeleide van snelheid v, m/s is s, m dus bij opp - inhoud zou dit ook kunnen kloppen. Ik ben pas 16 dus het zou kunnen dat het niet klopt, ik zou er geen weddenschap over aangaan gebaseerd op mijn antwoord.

 · Answer

dat is zeker geen toeval. mbv de primitieve zou je zo ook de 'inhoud' van een 4d bol kunnen berekenen: 4/12*pi*r 4.

 · Answer

inderdaad met een dimensie erbij integreer je de vergelijking, en met een dimensie omlaag differentiëer je weer. Het is ZO evident. DIT is nu de manier waarop differentiëren en integreren werkt: het verminderen of vermeerderen van een (variabele) grootheid

 · Answer

Je moet het eigenlijk andersom beredeneren: als je de inhoud van een bol wil bereken, dan moet je eigenlijk de oppervlaktes van oneindig veel heel dunne en steeds kleiner wordende cirkels bij elkaar optellen. Dit heet integreren. Het omgekeerde van integreren is differentieren of afleinde en dus krijg je dan voor de inhoud van de bol weer de oppervlakte terug. Dus het klopt wat je zegt.

Als je formule voor inhoud van een bol afleidt, krijg je de formule voor de oppervlakte. Toeval of zit er een wiskundige betekenis achter?

Antwoorden (4)

Weet jij het beter..?