• Waarom is 2.sinus(- 666º) exact phi?

Ik heb even mijn grafische rekenmachine erbij gepakt en dit is wat er uit je rekensommen is gekomen:

2*sin(-666grad) = 1,618033989

De arcsinushyperbolicus is gewoon de inverse sinus hyperbolicus. Daaruit volgt de volgende berekening met jouw som:

e^(sinh^-1(0.5)) = 1,618033989

Deze sommen geven inderdaad de zogenaamde 'Gulden Snede', ook wel 'phi' genoemd (voor de leken: 'phi' is iets heel anders dan 'pi', welke slechts de verhouding tussen de diameter en de omtrek van een cirkel weergeeft).

Ik zie deze functies als een soort puzzels. Je kan altijd oplossen waarom dat speciale getal daar is. Ik ben nu nog aan het puzzelen op de eerste opgave, maar
in het geval van de tweede 'functie' moet ik je helaas al teleurstellen:

Zo is de functie van de inverse sinus hyperbolicus als volgt:

arcsinushyperbolicus = ln(x+wortel(1+x^2))
Van het natuurlijke logaritme 'ln', (de 'e-log') is het volgende bekend:
e^(ln(x)) = x

Jij doet het volgende:
e^(arcsinushyperbolicus(0,5)) = phi ; wat betekent:

e^(ln(0,5+wortel(1+0,5^2))) = phi
Hieruit volgt:
0,5+wortel(1+0,5^2) = phi

Zoals je ziet, heeft je eigen 'som' de mathematische constante 'e' zelf weggewerkt. Deze beïnvloedt de uitkomst dus op geen enkele manier.

Wat overblijft is het volgende:
0,5 +wortel(1,25)

Aangezien geldt:
wortel(x* 4) = wortel(x)*wortel(4) = wortel(x)*2
geldt ook:
wortel(1,25*4) = wortel(1,25) *2; waaruit volgt:
wortel(5) = wortel (1,25) *2

Aangezien het getal 'phi' wordt berekend door:
phi = (wortel(5))*0,5+0,5
Kan je stellen:
phi = wortel(1,25) +0,5
Dit is precies wat overbleef bij het 'ontmantelen' van jouw functie.

De oplossing van het eerste sommetje ben ik nog mee bezig.

Toegevoegd na 1 uur:
Zie voor die oplossing de reacties.