Hoe bewijs je dat de fourier transformatie van dx(t)/dt gelijk is aan iW*X(W)?

Vaak wordt als voorwaarde voor het bewijzen van 'standaard'eigenschappen van de fouriertransformatie aangenomen dat de functie x(t) 'absoluut integreerbaar' moet zijn.

De definitie van absolute integreerbaarheid is dat de oneigenlijke integraal over de absolute functiewaarde van x(t) van -oneindig naar + oneindig, zelf kleiner dan oneindig moet zijn. Ik geloof niet dat ik het hier in formulevorm kan uittypen, mijn excuses daarvoor. Zie bijvoorbeeld http://en.wikipedia.org/wiki/Fourier_transform , meteen onder het hoofdje 'properties of the fourier transform' wordt deze aanvullende eis ook gegeven (in formulevorm).

Maar aangezien de ABSOLUTE functiewaarde van x(t) altijd groter of gelijk aan 0 is, kan aan deze conditie alleen maar voldaan worden als x(t) naar 0 gaat als t naar +oneindig of naar -oneindig gaat ... was dat niet het geval, dan zou die oneigenlijke integraal immers WEL oneindig groot worden.

Maar als x(t) naar 0 gaat voor t naar + of - oneindig, betekent dat weer, dat de middelste term uit je partiele integratie (die jij [u*v] noemt in je vraag) 0 wordt.

Strikt genomen is deze eis van 'absolute integreerbaarheid' niet noodzakelijk voor de fouriertransformatie zelf, maar als je deze los laat, dan verlies je ook een heleboel van de mooie eigenschappen.

Een intuïtieve reden voor deze aanvullende eis van absolute integreerbaarheid is dat je 'in de praktijk' toch geen signalen beschouwt met een oneindige hoeveelheid energie waarover je de fouriertransformatie zou willen uitvoeren.