Tot hoever kan je een gesloten figuur hoekjes geven totdat het een cirkel wordt?

Dat houdt nooit op. Mijn TomTom neemt genoegen met een rotonde als die de cirkel in 8 verdeelt en dat vind ik goed.

Je kunt een cirkel een nulhoek noemen, maar ook een oneindighoek. Het getal pi is ooit berekend door van een driehoek een zeshoek te maken, en dan een 12-, 24-, 48- en 96-hoek. De verhouding tussen omtrek en diameter nadert op die manier pi. Op die manier kon Ludolph van Ceulen al in 1596 pi op 35 decimalen nauwkeurig bepalen.

Je stelt je vraag het meest exact in je laatste zin: Hoeveel hoeken heeft een figuur dan vlak voor hij een cirkel wordt?

Je gaat er dan al van uit dat het inderdaad ooit een cirkel wordt, maar dat is nu juist de vraag. Het zal steeds meer een cirkel benaderen waar alle punten even ver verwijderd zijn van het middelpunt. Maar het wordt nooit een cirkel. Elk hoekpunt zal steeds iets verder verwijderd zijn van het middelpunt dan het midden van een zijde.

---

In de wiskunde wordt veel gebruik gemaakt van dit soort benaderingen, zoals jij met de 34509-hoek doet. Bijvoorbeeld bij het rekenen met limieten, "het delen door (bijna)nul".

"Als we er vlak bij gaan zitten, bij iets wat eigenlijk niet kan en het lijkt iets te worden, dan krijgen we een idee van wat er gebeurt als we doen wat niet kan". Dat is een ingewikkelde zin, en dat moet ook. Het rekenen met limieten (differentieren, integreren etc.) is ook alleen maar een manier om op een ingewikkelde wijze te verdoezelen dat je iets doet dat niet helemaal in de haak is.

Stel je voor dat je met satéstokjes een driehoek maakt, en dan een stokje erbij voor een vierkant, en dan een vijfhoek, etc. Als je dat echt doet heb je al snel heel andere problemen dan de vraag wanneer het een cirkel wordt. (hoe hou ik dat een beetje rond, waarmee verschuif ik al die stokjes als ik er ween eentje bijleg, ...).

Oneindig veel hoeken, niet meer en niet minder. Een andere mogelijkheid is er niet.
Een oneindige rechte lijn is ook een cirkel.
Dit zijn dan de axioma's in de wiskunde. Oplossingen [aannemingen] in de wiskunde die je niet kunt bewijzen, maar die wel als waar worden aangenomen, om zo een orde in de wiskunde te krijgen
Robby BB