Hoe moet je logaritmische vergelijkingen als 3^(1+log(2, 1/x))-9^(log(4, 4x^2))-11+3^(log(2, 8x^3))=0 oplossen?

Question

Ik ben in mijn vrije tijd mijn wiskundevaardigheden aan het bijwerken en kwam deze vraag tegen in een oud ingangsexamen. Ik zou graag de redenering erachter begrijpen, deze valt namelijk niet op te lossen met de "standaard oplossingsmethodes" voor logaritmische vergelijkingen.

Dank bij voorbaat.

Toegevoegd na 2 uur:
Ik heb het uiteindelijk gevonden met volgende werkwijze.
Ik heb mijn opgave herschreven als 3*3(log(2, 1/x)) - 3^(log(2, 4x^2)) + 3^(log(2, 8x^3)) = 11. Maar 3*3(log(2, 1/x)) = 3/3^(log(2, x)). Daarna heb ik alles met 3/3^(log(2, x)) vermenigvuldigd en 3^(log(2, x) vooropgezet. Daarna valt alles terug te brengen tot de derdegraadsvergelijking 18z^3-11z+3=0 met z = 3^(log(2, x). Deze derdegraadsvergelijking heeft maar 1 nulpunt: z = 1/3. Vullen we dit nu in dan moet 1/3 = 3^(log(2, x)) en dit geldt slechts als x = 0.5.

 · Accepted Answer

Een beetje vereenvoudigen om alles in functie van log(2,x) te schrijven:
° log(2,1/x) = -log(2,x)
° log(4,4x²) = log(2,4x²)/2 = (log(2,4)+log(2,x²))/2 = (2+2*log(2,x))/2
° log(2,8x³) = log(2,8)+log(2,x³) = 3+3*log(2,x)

Verder om alles op grondtal 3 te krijgen, herschrijf:
9^(log(4,4x²)) = 3^(2*((2+2*log(2,x))/2)) = 3^(2+2*log(2,x))

Nu heb je:
3^(1-log(2,x)) - 3^(2+2*log(2,x)) - 11 + 3^(3+3*log(2,x))

Met rekenregels van machten wordt dat:
3*(3^(log(2,x)))^(-1) - 9*(3^(log(2,x)))² - 11 + 27*(3^(log(2,x)))³ = 0

Stel nu t = 3^(log(2,x)) en je krijgt:
3/t - 9t² -11 + 27t³ = 0

Of, na vermenigvuldiging van beide leden met t, een vierdegraadsvergelijking in de variabele t. Lijkt me niet direct eentje om met de hand 'exact' op te lossen; er zijn twee reële oplossingen: t = 0.269... en t = 0.773...

Uit t = 3^(log(2,x)) volgt x = 2^(log(3,t)) en dat geeft met bovenstaande twee t-waarden de oplossingen x = 0.850... en x = 0.437...

Misschien heb je de opgave fout overgenomen en is het met deze methode de bedoeling dat je onderweg een veeltermvergelijking verkrijgt die wel exact ('met de hand') op te lossen is.

 · Answer

Het is niet zo, dat ik deze vergelijking voor je ga oplossen, maar ik zal je een paar 'principes' vertellen die hierachter zitten.

Het probleem dat je hier hebt, is dat logaritmes in machten staan. Bedenk echter het volgende:

a^(log(a, x)) = x. Als we elk logaritme dus kunnen schrijven met een basis 'a' dan is het probleem eenvoudig opgelost. De vraag is alleen, hoe doen we dat?

Bedenk je dat log(a, x) te schrijven is als log(x)/log(a). Het probleem is dus eenvoudig, men moet voor een:

b^(log(a, x)) een b^(c * log(b, x)) zien te vinden zodat het versimpelt naar x^c.

We nemen nog een maal het geval b^(log(a,x)). Hoe vinden we nu een c zodat log(a, x) * c = log(b, x) ?
Herschrijf daarvoor alles via de 'quotientregel':

log(x)/log(a) * c = log(x)/log(b)
c/log(a) = 1/log(b)
c = log(a)/log(b) = log(b, a)

Met andere woorden: b^(log(a, x)) = b^( log(b, a) * log(b, x) ) = x^(log(b,a))

Je ziet al, dat het probleem zoals het hierboven beschreven staat eigenlijk niet exact op te lossen is.

Hoe moet je logaritmische vergelijkingen als 3^(1+log(2, 1/x))-9^(log(4, 4x^2))-11+3^(log(2, 8x^3))=0 oplossen?

Het beste antwoord

Andere antwoorden (1)

Weet jij het beter..?