Is deze stelling wel correct? (begrensdheid bij functies van meerdere veranderlijken)

Definitie:
Een verzameling S € R^n heet compact indien ze gesloten en begrensd is.

Stelling:
Zij f: S --> R continu in de compacte deelverzameling S van R^n. Dan is f begrensd op S.
----------------------------------------
Compact impliceert toch begrensdheid? Zo ja, hoe zouden beide definities er dan moeten uitzien opdat de voorwaarden niet de gevolgen zouden impliceren?

Verwijderde gebruiker

12 jaar geleden

in: Wiskunde

1.2K

1.2K keer bekeken

Verwijderde gebruiker

12 jaar geleden

Wat ben je aan het doen?? Vectorcalculus? Settheorie? Topologie? Of veel door elkaar?

Verwijderde gebruiker

12 jaar geleden

Vectorcalculus met wat topologie

Heb je meer informatie nodig om de vraag te beantwoorden? Reageer dan hier.

Het beste antwoord

- "Compact impliceert toch begrensdheid?"
Ja, maar dat is niet wat de stelling zegt (over een verzameling). S is compact (en dus per definitie begrensd!) maar dat wil nog niet zeggen dat de functie f ook 'begrensd is op S', dat gaat over de verzameling van beelden f(S) van die functie.

Een sterkere stelling zegt dat ook die compact zal zijn, in jouw stelling wordt er enkel gesproken over begrensd. Meer algemeen geldt dus het volgende: als f:S->R continu is op S en S is compact, dan is ook f(S) compact. Als f niet continu is, is dit niet noodzakelijk zo.

In het bijzonder geldt dat f(S) dus begrensd is, want compact impliceert (inderdaad) begrensd. Voor de duidelijkheid: we noemen de functie zelf 'begrensd op S' als de beeldverzameling f(S) begrensd is.

Helpt dit?

(Lees meer...)

Verwijderde gebruiker

12 jaar geleden

Verwijderde gebruiker

12 jaar geleden

Lijkt te kloppen.

Verwijderde gebruiker

12 jaar geleden

Ok, dus die eerste begrensdheid gaat over het definitiegebied, en de 2e over het beeld van de punten uit die verzameling?

Verwijderde gebruiker

12 jaar geleden

In jouw stelling is inderdaad gegeven dat S (het definitiegebied of domein) begrensd is, de stelling garandeert dan dat het beeld van S onder een continue functie f ook weer een begrensde verzameling is (of anders gezegd: "f is begrensd op S"). Zoals ik al zei geldt in feite nog sterker: compact afbeelden op compact, waaruit begrensdheid natuurlijk volgt.

Weet jij het beter..?

Het is niet mogelijk om je eigen vraag te beantwoorden Je mag slechts 1 keer antwoord geven op een vraag Je hebt vandaag al antwoorden gegeven. Morgen mag je opnieuw maximaal antwoorden geven.

0 / 2500