Aantonen dat een wiskundige formule klopt d.m.v. getallenvoorbeeld, mag dat?

Question

Ik heb een vraag over het aantonen dat een wiskundige formule klopt. De formules gaan over de energie die een windmolen produceert.

Hierin is v de windsnelheid, en r de lengte van de wiek.

In deelvraag a, wordt gegeven dat een bepaalde waarde van v en r samen 95 kWh opleverden. De vermeldde waardes weet ik niet meer, maar het kwam neer op E (kWh) = 0.0019 x v^3 x r^2 = 95.

Er wordt in deelvraag c gesteld dat er ook veel windenergie verloren gaat, en dat de windmolen maar een rendement heeft van 20%. Toon aan dat de nieuwe formule moet zijn: E= 0.00038 x v^3 x r^2.

Als ik dezelfde waarden voor v en r gebruik in de nieuwe vergelijking, zou ik logischerwijs op het rendement, 20% van 95 kWh moeten komen, namelijk 19 kWh. Dit heb ik allemaal keurig gedaan, en (naar mijn idee) zo aangetoond dat 0.00038 het enige getal is waardoor ik op 20% rendement kom, en dat de formule dus klopt.

Mijn wiskundeleraar heeft dit echter fout gerekend, omdat ik volgens hem niet met een getallenvoorbeeld kan/mag aantonen dat een formule klopt. Hij wist het echter niet duidelijk toe te lichten, en wist niets beters dan "het is gewoon zo" te zeggen, en daarmee de discussie te sluiten.

Kan iemand mij met een duidelijke uitleg/onderbouwing vertellen waarom dit niet mag? Of is het onterecht?

Alvast bedankt!

sterredag · Answer

Ik vermoed dat je een formule niet met een getallen voorbeeld mag bewijzen op goed, omdat dit alleen kan als je zeker bent van de uitkomst.

Als je niet zeker bent van de uitkomst, kan je simpelweg dit niet gebruiken om aan te tonen dat de formule klopt.

Omdat je in de praktijk over het algemeen niet de uitslag weet (want daarom wil je een formule gebruiken om de uitslag te berekenen) zul je dus op een andere manier zeker moeten weten dat je de juiste formule berekening maakt.

Wat is die manier... is hier dan eigenlijk de vraag.

Ik hoop dat de leraar je wel het juiste antwoord op de vraag heeft gegeven en als je leraar je geen juist antwoord kan/wil geven, zoek het vooral hogerop!!

 · Answer

Eigenlijk niet, als je iets aantoont door een getal in te vullen bewijs je je formule eigenlijk alleen voor dat getal en bewijst het niet dat het voor alle andere getallen, breuken of andere (negatieve) getallen.

 · Answer

Ik denk dat je ongeveer dit had moeten doen:

als rendement 20% ipv 100% is dan:
100/20= 1/5=0.2
0.0019 * 0.2 = 0.00038  ( *0.2 is hetzelfde als /5)

Dus beredeneren i.p.v de uitkomsten te gebruiken.

Toegevoegd na 2 minuten:
ps. Jouw manier is op zich ook goed, alleen niet volgens "de regels" 
Het was aardig geweest als het half goed gerekend zou worden.

Toegevoegd na 3 minuten:
het kan nog korter:

20% * 0.0019 = 0.00038

gvrox · Answer

Ik denk dat de leraar wilde zien dat:

0.20 x 0.0019 x v^3 x r^2 gelijk is aan
0.00038 x v^3 x r^2

(die 0.20 is uiteraard die 20%, toegepast op jouw eerste formule)

Een getallenvoorbeeld is in de wiskunde geen bewijs, stel dat je de volgende formule hebt:

a x b = a + b

en je neemt voor a en b de waarde 2 dan is inderdaad 2x2 = 2+2 (= 4). Maar neem je voor beiden de waarde 1 dan klopt het al niet.

 · Answer

Een getallen voorbeeld is geen correct bewijs. Tenminste niet zonder aanvulling.

Als je in staat bent met een voorbeeld aan te tonen dat bij getal 38 de formule klopt moet daarna aangetoond worden dat de formule ook klopt voor getal n+1 uitgaand van het axioma dat het voor n klopt. 
Met die combinatie bewijs je dan dat het klopt voor 38, en voor n+1 (dus 39 en omdat 39 zo klopt weer voor 40 etc)

Formeel bewijs je zo niet dat ie ook klopt voor 37 ...dan moet er ook bewijs bij dat ie klopt voor n-1 uitgaand van het axioma dat ie voor n klopt.

ps axioma=aanname. Voor N hoef je NIETS te bewijzen...daar is dat voorbeeld getal voor om aan te geven dat er minstens 1 n is waarvoor ie klopt.

 · Answer

Nee, dat mag niet. Het kan op zijn best een soort van minimale ondersteuning zijn, maar het is zeker geen bewijs! Het kan namelijk heel toevallig goed zijn. Het omgekeerde is wel waar: je kan een foute formule wel aantonen met een tegenvoorbeeld met getallen.
Set bijvoorbeeld dat ik zeg: breuken van de vorm: xy/yz, waarbij x,y en z alle 3 cijfers zijn tussen 0 en 9, mag je vereenvoudigen tot: x/z (boven en onder de streep hetzelfde getal wegstrepen). Pas op: met xy bedoel ik het 2 cijferige getal, niet het product van x en y, dus niet: x * y.
Voorbeeld: 19/95 = 1/5 (reken maar na!) En ook 16/64 = 1/4. Dus deze getalvoorbeelden zouden aantonen dat mijn formule goed is.
Echter voor heel veel andere getallen geldt het niet: 13/32 != 1/2.
Dus mijn formule is fout!

 · Answer

Als er staat 'bewijs' of 'toon aan', betekent dit voor élk geval dat in het domein ligt. (Bijv. |R, N, etc.)

Een getallenvoorbeeld - dat klopt of neit klopt - noemen wij een áanwijzing in de wiskunde.

Aanwijzingen kan je gebruiken om tot een theorie te komen: klopt het wel/niet op intervallen etc.

Bewijzen moet echter - voor volledige verzamelingen - niet met een getallenvoorbeeld maar met bijvoorbeeld een beredenering.

Veel formules volgen uit andere, bijv.
oppervlakte vierkant = basis ^2
Nu, de oppervlakte van een rechthoekige gelijkbenige driehoek is dan 1/2 * basis^2.

Dit kan natuurlijk ook in jouw geval: het bewijzen dmv. een onderbouwing.

Ik hoop dat ik je geholpen heb.

 · Answer

De laatste 4 respondenten hebben allen gelijk. In de wiskunde gebruiken wij de bewijsmethode van "volledige inductie". Dat wil zeggen een bewijs dat de formule of stelling opgaat voor alle getallen tot in het oneindige. Alleen in sommige gevallen geeft men een domein aan. Het invullen van een getal, wat jij deed, is inderdaad, zoals bovengenoemde respondenten aangegeven, slechts een aanwijzing dat het mogelijk goed zit met de formule. Heel verwarrend noemt men dat "inductie". Bij "volledige inductie" stelt men: als iets, laten we zeggen n, geldt, geldt dat dan ook voor n+a. 
De natuur is echter halsstarriger dan de wiskunde, vandaar dat men zo iets imaginair als complexe getallen heeft uitgevonden met het getal i (je weet wel i^2 = -1) om bewijzen kloppend te maken.

 · Answer

Zoals hiervoor reeds is gezegd: je kunt met 1 getallenvoorbeeld geen stelling bewijzen. Echter, je kunt wel met 1 voorbeeld aantonen dat een stelling onjuist is! Bijvoorbeeld de (foute) stelling van Fermat: x^n + y^n=z^n heeft geen gehele getallen-oplossing voor n>=2. Je geeft dan als tegenvoorbeeld: 3^2+4^2=5^2 (9+16=25) en daarmee is de stelling aangetoond onjuist. (n>=3 is wel juist zoals aangetoond door Andrew Wiles)

Aantonen dat een wiskundige formule klopt d.m.v. getallenvoorbeeld, mag dat?

Antwoorden (9)

Weet jij het beter..?