hoe bereken ik de positsie van de aarde ten opzichte van het zwarte gat. welke gegevens heb ik nodig.

Dat hoef je niet uit te rekenen. Het meest dichtst bijzijnde zwarte gaatje ligt bij V 4641, 1600 lichtjaar ver weg.

Wat bedoel je met "het zwarte gat"? Er zijn er heel veel, sommige zijn zelfs dubbel.
En vervolgens ben ik bang dat je je eigen hersens moet laten kraken. De positie van een hemellichaam wordt gegeven ten opzichte van het zogenaamde "lentepunt" in graden Declinatie en Rechte Klimming. Om die postie te kunnen vinden heb je je eigen coordinaten nodig op aarde, de exacte tijd en de datum.
Vervolgens heb je nog de afstand nodig van de aarde naar dat punt (op de datum/tijd)
Je "ziet" het zwarte gat dan door de afbuiging van het licht van sterren die net achter de rand ervan schijnen.

Omdat de zwaartekracht afneemt met het kwadraat van de afstand (3 x zo ver = 9 x zwakker) is het effect van bijvoorbeeld het zwarte gat in het centrum van onze melkweg heel klein ten opzichte van bijvoorbeeld de maan en de zon.

Toegevoegd na 8 minuten:
Hier is alvast een lijst zodat je aan de slag kunt:

http://www.johnstonsarchive.net/relativity/bhctable.html