Hoe bereken je bijvoorbeeld sin(1,5pi) met de eenheidscirkel?

Teken twee assen loodrecht op elkaar en teken een cirkel rond het snijpunt van de assen.

Een cirkel heeft 360 graden of ook wel 2pi. Dus als je ergens op de cirkel begint en je volgt de cirkellijn voor de helft, dan heb je 180 graden of 1/2 * 2pi = pi afgelegd. Volgt je de cirkel voor een kwart, dan heb je 1/4 * 2pi = 1/2 pi afgelegd. Leg je de hele cirkel twee keer af, dan heb je 2 * 2pi = 4pi afgelegd. Enzovoorts.

Nu noemen we zo'n 'route' over de cirkel 't'. t loopt van 0 tot 2pi en begint dan eigenlijk weer opnieuw, want na 2pi ben je weer op het punt op de cirkel waar je begon. Hoe kan je nu met behulp van deze cirkel uitrekenen wat sin(t) of cos(t) is?

Welnu, noem je assen x (horizontaal) en y (verticaal) en spreken we af dat de straal van de getekende cirkel 1 is. Zie ook het plaatje hieronder. Het beginpunt van t (dus t=0) is rechts op het snijpunt met de x-as. Dus daar waar de x-coördinaat 1 en de y-coördinaat 0 is...

Nu wordt het simpel aflezen: de coördinaten van een punt op de cirkel (dus een bepaalde t) worden gegeven door (x=cos[t], y=sin[t]). Is t=1,5pi, zoals in je vraag, dan loop je dus over de cirkel tot anderhalf pi. Je komt dan op het snijpunt aan de onderkant van de cirkel met de y-as. De coördinaten daar zijn (cos[1,5pi], sin[1,5pi]). Je kunt dat gewoon aflezen: dat is (0, -1).

Wat ik zelf altijd deed was de assen in plaats van x en y, de 'cos-as' en de 'sin-as' noemen.

Nu zie je:
sin[pi]=sin[2pi]=sin[3pi]=0.
cos[0]=sin[1/2pi]=cos[2pi]=1
cos[pi]=-1=-cos[0]
Enzovoorts...

Je kan nu ook wat minder simpel afleesbare dingen uitrekenen, bijvoorbeeld wanneer t=1/3pi - je zit dan niet op een snijpunt met de as, dus je kunt dat niet zomaar aflezen.