Als het Catalaanse voetbalelftal mag meedoen aan het WK/EK, wat gebeurt er dan met bijv. Piqué en Fabregas?

De regel is dat je voor een land kiest en daar dan voortaan voor uitkomt. Zoals Nederlands-Marokkaanse spelers hier ook moeten kiezen: komen ze voor Oranje uit, mogen ze niet voor het Marokkaanse elftal spelen, en andersom.
Of dat ook geldt als er een "nieuw" land opgenomen wordt in de kampioenschappen is natuurlijk de vraag, omdat de spelers die het aangaat eerder geen keuze hadden.
Ik vermoed dat er dan een aparte afspraak over gemaakt wordt.

die mogen zelf bepalen waarvoor ze willen spelen. In dit geval is dit een keuze tussen succes en spelen voor hun 'moederland' en daar proberen mee de werelnd te veroveren.

Dat zal niet gebeuren. Catalonië is geen officieel erkend land en kan als zodanig ook niet deelnemen aan een WK/EK.

Mocht dat ooit veranderen, dan neem ik aan dat ze alsnog de keuze kunnen maken voor het ene land of het andere (en dan vermoed ik dat ze gaan kiezen voor Spanje, omdat dat meer kansen biedt).

Het catalaanse elftal mag niet meedoen aan een EK of WK omdat het een regionaal elftal is en niet bij de FIFA aangesloten is.

Ze zijn al voor een ander land (Spanje) uitgekomen. Ze mogen dus niet voor een ander land uitkomen.
Hierboven wordt al naar dubbel nationaliteiten gerefereerd. Je kan dus maar voor 1 land uitkomen. Althans dit is geldend voor HET EK of WK.

Op jongere leeftijd mogen spelers nog wel switchen