Om per brief een huurcontract of dienstverband op te zeggen, moet dat per einde van de maand of begin van de volgende maand?

De medewerker kan zij arbeidscontract op iedere dag opzeggen. Op dat moment begint de opzeggingstermijn. De medewerker hoeft dus niet tot een bepaalde dag te wachten voordat hij kan opzeggen.
zie ook: http://www.arbeidsrechter.nl/opzegging-door-werknemer-arbeidsovereenkomst-bepaalde-onbepaalde-tijd-ontslag

Voor huurcontracten geld een andere regel.
w eerste vraag is natuurlijk, hoe zeg ik mijn huurcontract op? Het opzeggen van een huurcontract voor uw woning of kamer zegt u op middels een aangetekende brief.

Bij alle huurcontracten is sprake van een opzegtermijn. Deze opzegtermijn is gelijk aan de betalingstermijn van de huur. Over het algemeen geschiedt deze betaling maandelijks en is de opzegtermijn dan ook een maand. In principe kunt u uw huurcontract ten alle tijden (eerste van de maand) opzeggen, tenzij u nog in het eerste jaar zit. De meeste contracten worden immers voor een jaar afgesloten, dit komt er op neer dat u pas kunt opzeggen na het eerste jaar. Voor de verhuurder is de opzegtermijn weer anders, dat is een stuk ingewikkelder en daar wordt in deze tekst niet op in gegaan.
Zie: http://voorbeeldbrief.blogspot.com/2010/08/voorbeeldbrief-opzeggen-huurcontract.html