Hoe bepaal je de vierdegraadsfunctie die deze eigenschappen heeft?

Een algemene vierdegraadsfunctie heeft de vorm

f(x) = A x^4 + B x^3 +C x^2 + D x + E = 0

met A, B, C, D, E nader te bepalen constanten. De standaard werkwijze is dat je alle nulpunten invult met waarden voor x, een stelsel van 5 vergelijkingen met 5 onbekenden krijgt, die je vervolgens kunt oplossen.

Maar in dit geval kan het gelukkig een stuk gemakkelijker, omdat we al 3 nulpunen hebben, namelijk (3,0) (dubbel) en (0,0).

Dat betekent dus dat de vergelijking voor x=3 gelijk aan 0 is, en dàt betekent weer dat deze vergelijking geschreven moet kunnen worden als

(x-3) * <een derdegraadsvergelijking> = 0

Omdat we weten dat x=3 twéé keer een nulpunt is en x= 0 ook kunnen we deze vergelijking meteen schrijven als

(x-3) * (x -3) * x <een eerstegraadsvergelijking> = 0

Schrijven we voor het gemak even
g(x) = (x-3) * (x -3) * x = (x-3)^2 * x

en
e(x) = ax +b voor de nader te bepalen eerstegraadsvergelijking dan hebben we dus

f(x) = g(x) * e(x)




Nu geldt dat

g(2) = (2-3)^2 * 2 = 2
g(4) = (4-3)^2 * 4 = 4

dus als

f(2) = 6= g(2) * e(2) = 2 * e(2) -> e(2) = 3
f(4) = 28 = g(4) * e(4) = 4 * e(4) -> e(4) = 7

Met andere woorden, e(x) moet dan door (2,3) en (4,7) lopen.
ofwel
a*2 +b = 3
a*4 +b = 7

levert ons op
e(x)= 2x - 1

zodat de totale vierdegraadsvergelijking wordt

f(x) = x * (x-3)^2 * (2x -1)

Als je dat fijn vindt (of je leraar) kan je deze vergelijking nog verder omschrijven naar de standaardvorm

f(x) = 2x^4 - 13 x^3 + 24x^2 - 9x

en controleren dat
f(0) =0
f(3) = 2 * 81 - 13* 27 + 24* 9 - 9*3 = 162 - 351 + 216-27 = 0 klopt
f(2) = 2 * 16 - 13* 8 + 24 * 4 - 9 * 2 = 32 - 104 + 96 - 18 = 6 klopt
f(4) = 2 * 256 - 13 * 64 + 24* 16 - 9*4 = 512 - 832 + 384 - 36 = 28 klopt.

Iets korter en overzichtelijker dan kierkegaard:

4de graads functie algemeen: f(x)= x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d

Twee nulpunten in (3 ; 0) betekent 2 factoren (x-3) (=0 voor x=3)
Een nulpunt in (0 ; 0) betekent een factor x (=0 voor x=0)
f(x) begint dus met (x-3) · (x-3) · (x)

Om x^4 te maken hebben nog een factor met x nodig -> (ax+b)
f(x) = (x-3) · (x-3) · (x) · (ax + b)

We hebben nu nog 2 onbekenden, a en b
En we hebben nog 2 punten, A(2 ; 6) en B(4 ; 28)

Gaat door (2 ; 6) vul voor x de waarde 2 in
f(2) = (2-3) · (2-3) · 2 · (2a + b)
= 2 · (2a + b) = 6 (*)

Gaat door (4 ; 28) vul voor x de waarde 4 in
f(4) = (4-3) · (4-3) · 4 · (4a + b)
= 4 · (4a + b) = 28 (**)

(*) 2a+b=3
(**) 4a+b=7
-------------
a=2, b=1

En nu de hele formule opschrijven / uitwerken

((((P.S., het heeft me wel een uur gekost om de beste volgorde te vinden))))
Er is een minnetje weggevallen.
a=2, b= -1