Wat is het verschil tussen log en exponent?

Volgens mij haal je wat dingen door elkaar. Je zegt bijvoorbeeld dat 3^4 = 81 "gelijk is" aan 3_log(81) maar dat klopt helemaal niet. Je bedoelt het misschien goed, maar 3^4 = 81 betekent dat 3^4 hetzelfde is als 81 en dat is niet gelijk aan 3_log(81). Wat wel klopt is dat 3^4 = 81 betekent dat 3_log(81) gelijk is aan 4. De betekenis van "3_log(81)" is immers, in woorden: "de exponent die je aan 3 moet geven om 81 te krijgen" en dat is 4, net omdat 3^4 = 81.

Als de vraag dan wordt: waarom zou je het ingewikkelde 3_log(81) schrijven als dat hetzelfde is als 4? Inderdaad, dan schrijf je gewoon 4: ze zijn gelijk immers aan elkaar; verschillende notaties voor hetzelfde getal. Net zoals we ook niet √9 zouden laten staan, daar maken we gewoon 3 van. Dat is dan ook de betekenis van √9, "het positieve getal waarvan het kwadraat 9 is"; precies 3 omdat 3² = 9.

Maar: je kan dat niet altijd eenvoudiger schrijven. Welk positief getal heeft als kwadraat 5? Het is groter dan 2 (want 2² = 4) en kleiner dan 3 (want 3² = 9)... Wel, "dankzij" de vierkantswortel kunnen we dat getal netjes (en exact) opschrijven, namelijk √5. De betekenis van het symbool "√5" is namelijk precies dát positieve getal waarvan het kwadraat 5 is.

Zo ook met logaritmen, maar dan een beetje anders. Als we a_log(b) schrijven, dan bedoelen we het getal dat we als exponent aan a moeten geven om b te krijgen. In het geval van 3_log(81) hebben we daar eigenlijk geen log voor nodig, omdat het 4 is want 3^4 = 81. Net zoals we voor √9 eigenlijk geen vierkantswortel nodig hebben, we schrijven gewoon 3. Maar dat lukt meestal niet...

Welk getal moet je bijvoorbeeld als exponent aan 3 geven om 10 te krijgen? Het is meer dan 2 (want 3² = 9) en minder dan 3 (want 3³ = 27). Het is een getal tussen 2 en 3 en "dankzij" logaritmen kunnen we het netjes (en exact) noteren zonder te moeten afronden met een eindig kommagetal, namelijk 3_log(10). De notatie "3_log(10)" betekent namelijk precies dát getal dat je als exponent aan 3 moet geven om 10 te krijgen.

Het gaat dus niet zozeer om een 'verschil' tussen logaritme en exponent, maar om het verband ertussen: ze zijn in zekere zin elkaars omgekeerde. Als a^b gelijk is aan het getal c, dan noemen we b (de exponent) de logaritme in grondtal a van het getal c: het getal dat we als exponent aan a moeten geven om c te krijgen. In symbolen:

a^b = c <=> b = a_log(c)