Hoe bepaal je limieten bij wiskunde?

Om deze limietprobleem op te lossen werk je eerst alle functies in de limietformule weg met f(x) = 1/√(x). Daarna kun je het vereenvoudigen. Wanneer je klaar bent met het vereenvoudigen, dan mag je x = 0 op de limietformule toepassen.

Bij 0/0 of ∞/∞ als een resultaat mag je dan de regel van l'Hôpital toepassen. Bij het differentiëren van deze limietformule zul je veel differentiatieregels toepassen. Wanneer je hier klaar bent, kun je even verder vereenvoudigen.

Tenslotte pas je x = 0 hier weer toe, op dit manier kun je tot -1/16 als een resultaat behalen. Zie de afbeeldingen van mijn uitwerkingen. Bij de tweede afbeelding heb ik d/dx(2x√(x+4)) verder in details uitgelegd, gezien dat het best ingewikkeld is.

Ik wil twee methoden geven.

De eerste is verreweg het snelste en minste rekenwerk, maar veronderstelt kennis van differentiaalrekening. De tweede is meer rekenwerk, maar kan je zonder differentiaalrekening doen.

Eerste methode.

We hebben dus de limiet:

(1) lim x->0 (f(x+4) - f(4) ) / x

We hadden hier even goed een andere variabele kunnen gebruiken die naar 0 gaat, bv. h. Waarom ik dat wil, wordt straks duidelijk. Dus

(2) lim h->0 (f(h+4) - f(4) ) / h

en uit deze limiet komt natuurlijk hetzelfde als uit (1).

Kijken we nu naar de functie f(x). Om verwarring met de 'x' uit de oorspronkelijke limiet te voorkomen, gebruik ik liever weer een andere variabele, bv z. Dus f(z) =1/ wortel (z). Dan is de afgeleide

(3) f ’ (z) = lim h ->0 ( f(z+h) - f(z) ) / h

Dus de afgeleide van f(z) in z = 4 zou zijn:

(4) f '( 4) = lim h ->0 ( f(4+h) - f(4) ) / h

Maar dit is "toevallig" hetzelfde als wat er in (2) staat, en dus ook als wat er in (1) staat, en dat is de limiet die we willen weten. We zijn dus klaar met het berekenen van f ’ (4)


In de praktijk kunnen we f ‘(4) natuurlijk makkelijker berekenen, door de standaardregels voor afgeleiden te gebruiken.

f ‘(z) = -1 / (2 *z* wortel(z) ) en dus is
f’(4) = -1 / (2 * 4 * wortel(4) ) = -1 / 16.


Tweede methode.

lim x->0 ( 1/√(x+4) - 1/√(4) ) / x.

Het eerste dat we moeten doen, is die wortelvormen kwijtraken. Dat kan bv. met behulp van het volgende merkwaardige product. Voor alle a en b geldt:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b

Dus is (√a - √b) = (a - b) / (√a + √b)

Zo werken we de teller van de limiet uit (a=1/(x+4), b= 1/4) , die zelf een nieuwe breuk wordt:
1/√(x+4) - 1/√(4) =
(1/(x+4) - 1/4) / (1/√(x+4) + 1/√(4))
De noemer DAARvan gaat zelf niet naar 0 als x->0, maar naar 1:
lim x->0 (1/√(x+4) + 1/√(4)) =1/√4 + 1/√4 = 1.

Dus als we terug gaan naar de oorspronkelijke limiet krijgen we:
lim x->0 ( √(x+4) - 1/√(4) ) / x = lim x->0 (1/(x+4) - 1/4) /x

Nog steeds niet zo prettig, maar dit valt verder uit te werken:
lim x->0 (1/(x+4) - 1/4) /x =
lim x->0 (1/(x*(x+4)) - 1/(4x)) = (noemers gelijk maken)
lim x->0 ( 4x / (4 x^2(x+4)) - x*(x+4) / (4 x^2(x+4)) ) = (onder 1 noemer brengen)
lim x->0 ( (4x -x^2 - 4 x )/ (4 x^2(x+4)) ) = (vereenvoudigen)
lim x->0 ( (-x^2)/ (4 x^2(x+4)) ) = (x^2 in teller en noemer wegstrepen)
lim x->0 ( -1 / (4(x+4))) = -1/16.