Hoe kan je berekenen hoeveel diogonalen een twintighoek heeft?

Ik ga er in onderstaande even vanuit dat je een twintighoek in het platte vlak bedoelt.
(in het geval van een ruimtelijk figuur zou je het trouwens ook over een zoveel-vlak hebben, niet een zoveel-hoek).

Dan zou ik het volgende denken.

Een DIAGONAAL is een lijn die 2 hoekpunten met elkaar verbindt die NIET met elkaar verbonden zijn door een rand van de veelhoek. Hoeveel zijn er daarvan?

Een twintighoek. heeft dus 20 hoekpunten. Laten we één zo’n hoekpunt eruit pakken. Dit hoekpunt is door 2 randen van de veelhoek met 2 andere hoekpunten verbonden.

Hoeveel diagonalen zou je dan vanuit dat ene punt kunnen trekken ? Nou, niet naar zichzelf natuurlijk, en ook niet naar die 2 andere punten, want die zijn al verbonden door de rand. Dus hou je er 20-2-1 = 17 diagonalen over.

Dat kan je voor elk van die 20 hoekpunten doen, dus dat levert je 20*17 lijnen op die je kunt trekken.

Alleen: je hebt nu elke lijn 2 keer getrokken (de diagonaal van hoek 1 naar hoek 13 bv. trok je toen je met hoek 1 bezig was, maar toen je met hoek 13 bezig was trok je ook een diagonaal naar hoek 1, maar dat is natuurlijk dezelfde diagonaal).

Dus moet je het totaal nog door 2 delen, en zo krijg je : 20*17 / 2 = 170 diagonalen.

Deze redenering kan je ook toepassen op een n-hoek. Je kan vanuit n hoeken diagonalen trekken naar n-3 andere hoeken (naar alle hoeken van het figuur behalve naar het hoekpunt zelf en de twee aangrenzende hoeken), en het aantal dat daaruit komt moet je nog door 2 delen omdat je elke diagonaal nu 2 keer meegenomen hebt.

De formule zou dan dus n* (n-3) /2 = 0.5n^2 - 1.5n worden, dus.