Mag ik deze mes volgens de Nederlandse wet bezitten?

Dat mes is een gewoon zakmes en dus geen verboden wapen.

Dat het geen verboden wapen is, wil niet zeggen dat je het altijd en overal bij je mag hebben. Ik kan me voorstellen dat een school uit veiligheidsoverwegingen verbiedt dat een leerling een zakmes bij zich heeft.
En dan nog dit....

Het is "verboden om zelfs een (Zwitsers) zakmes, puntige nagelvijl, schroevendraaier en noem maar op, bij je te hebben in bijvoorbeeld kroegen, bioscopen, voetbalstadions, etc. En op plekken waar het Algemeen Plaatselijk Verordering geldt, zoals bijvoorbeeld bij het Centraal Station Amsterdam. (...)

"Een zakmes is verboden als deze in uitgeklapte stand langer is dan 28 cm of wanneer het lemmet twee snijkanten heeft.(...)

Kortom, je mag zakmessen kopen en in bezit hebben, maar je mag ze niet altijd en overal bij je hebben. (...)
.
.
Je noemde in je vraag nog het begrip "valmes".
Dat is "een mes waarvan het lemmet door een druk- of vergelijkbaar ontgrendelingsmechanisme, dan wel door een zwaaibeweging of door zwaartekracht rechtshandig uit het heft wordt gebracht."
Ofwel: je drukt op een knop -bijv. en het mes schiet recht naar voren uit het heft. Dat soort messen is in Nederland verboden.

Maar op het plaatje gaat het om een zakmes.