Iemand haalt haar hond niet op na meerdere afspraken, blijft het wel haar eigendom?

Ja, het blijft haar eigendom.
Bezit is in het Nederlands vermogensrecht het houden van een goed voor zichzelf (art. 107 eerste lid, Burgerlijk Wetboek Boek 3).
De wet onderscheidt bezit van houderschap. Een bezitter houdt een goed voor zichzelf, terwijl een houder een goed voor een ander houdt. Onverminderd de feitelijke beschikking die een houder heeft over een goed weet die houder dat hij niet de bezitter of eigenaar is.
Men verkrijgt onder meer bezit door overdracht (zoals bij koop).

Je zou wel kunnen aangeven dat als de puppy binnen een maand niet opgehaald is:
- je ervan uitgaat dat ze afstand van de puppy doet en je hierbij eigenaar van het beestje wordt, ook in het belang van het dier; of
- je kosten in rekening brengt voor het onderhoud van het dier.
.
Het retentierecht is het recht van een schuldeiser om een roerend goed dat hij onder zich heeft niet af te geven aan de schuldenaar zolang zijn prestatie of inspanning niet is betaald. Als er afspraken over onkosten zijn gemaakt, hoef je de puppy niet terug te geven als deze niet betaald zijn.