Buiten onze schuld om, hebben wij ons vliegtuig gemist. Het nieuwe ticket kostte 860 euro. Hoe kunnen wij dit terugvorderen?

Ik neem aan dat je een pakketreis had bij een ANVR aangesloten organisatie? Van de ANVR site:
Mijn vlucht wordt geannuleerd door de luchtvaartmaatschappij. Welke rechten heb ik?
Bij toepassing van de ANVR Reisvoorwaarden (pakketreis via een touroperator) zal de ANVR reisorganisator zo mogelijk een gelijkwaardig alternatief aan bieden. Indien hier kosten aan zijn verbonden wordt aan de hand van artikel 12 lid 3 bepaald wie deze kosten moet betalen.
artikel 12 lid 3:
Indien de reis niet verloopt overeenkomstig de in lid 1 bedoelde verwachtingen, is de reisorganisator onverminderd het bepaalde in de artikelen 13, 14 en 15 verplicht de eventuele schade van de reiziger te vergoeden, tenzij de tekortkoming in de nakoming niet aan de reisorganisator is toe te rekenen noch aan de persoon van wiens hulp hij bij de uitvoering van de overeenkomst gebruik maakt, omdat:
a. de tekortkoming in de uitvoering van de overeenkomst is toe te rekenen aan de reiziger; of
b. de tekortkoming in de uitvoering van de overeenkomst niet kon worden voorzien of niet kon worden opgeheven en toe te rekenen is aan een derde die niet bij de levering van de in de reis begrepen diensten is betrokken; of
c. de tekortkoming in de uitvoering van de overeenkomst te wijten is aan een gebeurtenis die de reisorganisator of degene van wiens hulp hij bij de uitvoering van de overeenkomst gebruik maakt, met in achtneming van alle mogelijke zorgvuldigheid niet kon voorzien of verhelpen; of
d. de tekortkoming in de uitvoering van de overeenkomst te wijten is aan overmacht als bedoeld in lid 4 van dit artikel.

Oftewel je reisorganisatie moest het probleem oplossen en de extra kosten zijn voor hen. Het probleem is namelijk veroorzaakt door Egyptair en je reisorganisatie had daar een contract mee dat niet werd nagekomen. Als jijzelf te laat was geweest of er was iets gebeurd wat de reisorganisatie of Egyptair niet hadden kunnen voorzien, dan was het een andere situatie geweest.
Dus ik zou bij de reisorganisatie nogmaal erop aan dringen dat volgens de ANVR voorwaarden zijn verantwoordelijk zijn voor de extra kosten en als ze hier niet adequaat op reageren:
Als de klacht niet bevredigend wordt afgehandeld, kan de reiziger zich binnen drie maanden na terugkeer tot de Geschillencommissie Reizen wenden. Adres Geschillencommissie Reizen: postbus 90600, 2509 LP Den Haag (www.geschillencommissie.nl).

Dit alles dus onder de aanname dat je bij een ANVR reisbureau/organisatie hebt geboekt.