Hoe los je deze som op?

Question

f(x) = ax2+bx is een familie van functies.
Voor bepaalde waarden van a en b is de vertex van de grafiek f(x) ax2+bx punt (-1,-2).
Schrijf de coördinaten van beide snijpunten van de grafiek van f met de x-as en bereken dan de waarden van a en b.

Een niet al te ingewikkelde uitleg als het kan.

 · Accepted Answer

We kunnen de x-intercepts makkelijk 'berekenen'.
Bij dit soort formulae, ax^2 + bx, is het logisch dat een van de twee punten A(0,0) is. We hebben voor deze formulae een standaard factorisatie: ax(x+(b/a)).
De 'vertex' is (-1,-2). Gezien een parabool een as van symmetry heeft, is x = -1 die as. Dit wil het volgende zeggen: -1 = (0+x)/2.
-1 * 2 = 0 + x = -2.
Het andere snijpunt met de x-as is dus B(-2,0).
Zover kom ik zo snel. Ik kijk of ik mijn antwoord kan uitbreiden maar ik laat het liever aan goede wiskundigen over.

[zie afbeelding]

Toegevoegd na 23 minuten:
Goed. Ik heb toch maar even verder gezocht.
Ik kom nu tot de conclusie dat het de bedoeling is om de onbekenden bekend te maken. Dit kan door 2 stellingen toe te passen.
Eigenlijk weten we namelijk dit:
a - b = - 2
4a - 2 b = 0
Dan denk je: "Juist ja, wat kan ik daar nou mee???".
Dat dacht ik eerst ook, maar toen ik wat research deed kwam ik tot de conclusie dat ik gelijkstellingen moet gaan doen. Dat wil zeggen: ik moet onbekenden bekend gaan maken d.m.v. equaties. Dit klinkt niet logisch maar dan komt er dit uit:

-2 -a = - b.
Dit wil zeggen dat: 2 + a = b

4a = 2b
Dat wil zeggen dat: 2a = b

Nu hebben we de onbekende 'b' bekend gemaakt want:

2 + a = 2a = b.
Dus dat is een kwestie van oplossen en dat wordt dan:

2a = 2 + a
a = 2.

Nu hebben we 'a' uitgevogeld. a = 2.

------

Nu moeten we 'b' nog doen. Laten we eerst onze formule uitbreiden. Deze wordt nu: 2x^2 + bx = f(x).
Wat we nu doen, is wat we ook doen als we een lineaire formule maken van 2 coördinaten. We gaan b oplossen.
Dit doen we door x in te vullen. Dan blijft er nog maar één onbekende over: 'b'.

Dit wordt dan (voor x = -1): 2(-1)^2 + b(-1) = 2(1) -b = 2 - b = -2.
Dit is een kwestie van oplossen.

2 - b = -2
dus: -2 + b = 2
dus: b - 2 = 2
dus: b = 4

------

Nu krijgen we onze uiteindelijke formule:
2x^2 + 4x = f(x).
Dit controleren we met ons B coördinaat.
B(-2,0).

2(-2)^2 + 4(-2) = 2(4) - 8 = 8 - 8 = 0.
Dit bewijst dat onze formule klopt.
We weten nu dus de formule en de waarden van a en b.

DE CONCLUSIE:
a = 2
b = 4
f(x) = 2x^2 + 4x

------

amigo · Answer

het snijpunt met de x-as bereken je door y (= hier je f(X) ) op nul te stellen. Dan heb je in de grafiek nl wel een x coordinaat maar hij ligt op de x-as want de y-waarde is 0
wordt dus: 0 = ax2 + bx
Deze vergelijking heeft een kwadraat dus 2 oplossingen (dus 2 snijpunten). door het invullen van het punt (-1,-2) zou je dan a en b moeten vinden
Ik weet niet of dit duidelijk genoeg is, het is me nu te laat het zelf nog uit te werken. Lukt het niet en/of komt er niet iemand met meer/betere uitleg wil ik morgen nog wel een extra poging doen

Toegevoegd na 9 uur:
nou sorry aan mij heb je ook niks want zo in de ochtend kan ik het niet even gauw uitleggen. Weet je zeker dat de vraag klopt? Zoals ik het nu zie is het een parabool die NIET de : x-as snijdt
ik zou hem (misschien kun je daar wat mee): oplossen door de afleiding (ken je dat) te nemen (is hier 2ax + b) en dat nul te stellen voor het x-punt -1, als ik vertex goed begrijp, is hoogste of laagste punt, daar is de afgeleide in ieder geval nul. Dan weet je: 2a = b en dat kun je in de oorspronkelijke invullen voor het punt -1,-2 
-2 = a . (-1)kwadraat + 2a dus 
-2 = a + 2a dus
a = 2/3 en b=4/3
ik heb geprobeerd er een excell plaatje in te plakken maar dat lukt niet, in ieder geval het lijstje waarden

x	f(x)
-4	-12
-3	-7,33333
-2	-4
-1	-2
0	-1,33333
1	-2
2	-4
3	-7,33333
4	-12

 · Answer

Ik vind de voorgaande antwoorden best wel onduidelijk dus ik zal proberen het een en ander op te helderen.

Bij een parabool van de vorm ax^2+bx+c (c is hier dus gewoon 0)  is de x-coordinaat van de top of de vertex altijd gelijk aan -b/(2a).
aangezien gegeven is dat deze x coordinaat -1 is, krijgen we de volgende vergelijking:
-b/(2a)=-1

Omdat gegeven is dat het punt (-1,-2) op de grafiek ligt, aangezien de vertex onderdeel is van de grafiek weten we ook dat als we -1 invullen voor x dat dan de functiewaarde (de y-waarde dus) gelijk moet zijn aan -2. Dus we krijgen:
ax^2+bx=-2
a(-1)^2+b*(-1)=-2
a-b=-2

We kunnen nu de eerste vergelijking ook schrijven als:
-b/(2a)=-1
-b=-2a
b=2a

deze waarde voor b vullen we in in de 2e vergelijking:
a-b=-2
a-2a=-2
-a=-2
a=2

b kunnen we dan vinden door deze waarde van a in een van de twee eerdere vergelijkingen in te vullen:
a-b=-2              b=2a
2-b=-2              b=2*2=4
-b=-4
b=4

de snijpunten kan je vervolgens uitrekenen door de functie gelijk te stellen aan 0
ax^2+bx=0
2x^2+4=0
x^2+2=0
x^2=-2
x=wortel(-2)
dit kan niet, dus de grafiek heeft geen snijpunten

als je nog vragen hebt, stuur je maar even een berichtje

Toegevoegd na 1 uur:
Sjoerd merkte terecht op dat ik een fout heb gemaakt bij het berekenen van de snijpunten. Het moet zijn:

2x^2+4x=0
x^2+2x=0
x(x+2)=0
x=0   v    x+2=0
x=0   v    x=-2

Toegevoegd na 1 dag:
Ik zie nu dat je eerst de snijpunten op moet schrijven en daarna pas a en b berekenen.

In dat geval begin je zo:
ax^2+bx=0
x^2+(b/a)x=0
x(x+(b/a))=0
x=0    v   x+(b/a)=0
x=0    v   x=-b/a

Hoe los je deze som op?

Het beste antwoord

Andere antwoorden (2)

Weet jij het beter..?