Waarom is 1/(x^2+1) de afgeleide van arctan(x)?
2.3K
2.3K keer bekeken
Heb je meer informatie nodig om de vraag te beantwoorden? Reageer dan hier.
Het beste antwoord
Oeps, reactie toegevoegd in plaats van geantwoord. Copy/paste:
Ik veronderstel dat je weet dat de afgeleide van tan(x) gelijk is aan 1/cos²(x).
Als y = arctan(x), dan is x = tan(y) en dx/dy = 1/cos²(y).
Herschrijf 1/cos²(y) = (sin²(y)+cos²(y))/cos²(y) = tan²(y) + 1 zodat:
dx/dy = tan²(y) + 1 = x² + 1 waaruit dy/dx = 1/(1+x²).
De gezochte afgeleide dy/dx = (arctan(x))’ is dus 1/(1+x²).
(Lees meer...)
Ik veronderstel dat je weet dat de afgeleide van tan(x) gelijk is aan 1/cos²(x).
Als y = arctan(x), dan is x = tan(y) en dx/dy = 1/cos²(y).
Herschrijf 1/cos²(y) = (sin²(y)+cos²(y))/cos²(y) = tan²(y) + 1 zodat:
dx/dy = tan²(y) + 1 = x² + 1 waaruit dy/dx = 1/(1+x²).
De gezochte afgeleide dy/dx = (arctan(x))’ is dus 1/(1+x²).
Verwijderde gebruiker
10 jaar geleden
Reddie
10 jaar geleden
Plus voor het plakken van je eigen reactie ;-)
(En voor je antwoord).
(En voor je antwoord).
Verwijderde gebruiker
10 jaar geleden
Dat kan op een analoge manier.
y = arcsin(x), dan is x = sin(y) en dx/dy = cos(y).
Verder weet je dat cos²(y)+sin²(y) = 1, waaruit cos(y) = +/- sqrt(1-sin²(y)), zodat:
dx/dy = cos(y) = sqrt(1-sin²(y)) (*)
Omgekeerde nemen en sin(y) terug vervangen door x:
dy/dx = (arcsin(x)') = 1/sqrt(1-x²)
(*) bijkomend detail hier: in dit geval neem je de positieve wortel omdat arcsin(x) steeds tussen -pi/2 en pi/2 ligt en voor die waarden is de cosinus positief, vandaar de positieve vierkantswortel.
Verwijderde gebruiker
10 jaar geleden
Graag gedaan.