Is er een verband tussen een 'trainer' en een 'train' (Engelse woorden) ?

Het lijkt er niet op. "Trainer" is het zelfstandig naamwoord bij het werkwoord "trainen". Dat komt van een 15e eeuwse betekenis die ongeveer betekent "ervoor zorgen dat iets in een bepaalde richting groeit", wat later veranderde in "instrueren om een bepaald effect te genereren".
Een "train" als in "trein" is nog steeds wel "een opeenvolging, een progressie", zoals in het Engelse "train of thought" (gedachtegang). Het werd eerst gebruikt als "a train of wagons", en werd later los gebruikt als trein. De betekenis gaat terug tot het Latijnse werkwoord "trahere", dat "trekken" betekent.
Als je toegang hebt kun je het opzoeken in het Oxford English Dictionary, www.oed.com, zie voor een eenvoudige uitleg de bron hieronder.